Задание 17. Математика. ЕГЭ. Статград. 14.05.2025

а) Т.к. \(BCDM\) — параллелограмм, то \(BM \parallel CD\) и \(BCDE\) — трапеция. Проведём диагональ \(CE.\) Тогда \(\angle DCE = \angle CEB,\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(CD\) и \(BE.\) Но если равны вписанные углы, то равны хорды, опирающиеся на них: \(BC = DE.\) Аналогично показывается, что \(AB = CD.\)

б) Две трапеции \(ABCD\) и \(BCDE\) равнобедренные по доказанному выше и у них общий угол при меньшей диагонали \(BCD.\) Значит \(\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE\) и \(\angle BAD = \angle CDA = \angle DEA = \alpha.\) Большее основание трапеции равно сумме проекций боковых сторон на это основание плюс меньшее основание. Опустим в трапециях \(ABCD\) и \(BCDE\) высоты \(BF\) и \(DG.\) Обозначим \(AB = CD = x.\) С учётом того, что \(BC = DE = 9,\) получаем: $$ \begin{cases} 13 = 2x \cdot \cos \alpha + 9 \\ 15 = 2 \cdot 9 \cos \alpha + x \end{cases} $$ Выражая из второго уравнения \(2 \cos \alpha\) и подставляя в первое, получаем, что $$\frac{(15 - x) x}{9} = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 15x + 36 = 0.$$ По теореме Виета корни этого уравнения \(3\) и \(12.\) Учитывая, что \(AB > BC,\) получаем, что \(AB = 12.\)

Ответ: \(12\)