Задание 17. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко-11

а) \(\triangle AFO = \triangle APO\) по трём сторонам: \(AF = AP\) как касательные, проведённые к окружности из одной точки, \(OF = OP = r,\) и сторона \(AO\) — общая для этих треугольников. Значит, \(\angle FAE = \angle PAE,\) где \(E = AO \cap FP.\) Тогда в равнобедренном треугольнике \(FAP\) биссектриса \(AE\) является и высотой. Т.е. \(FP \perp AC.\) Но в ромбе \(BD \perp AC.\) Отсюда, что \(FP \parallel BD.\) Ч.т.д.

б) Проводя аналогичные рассуждения как и в пункте а) можно показать, что \(PK \parallel AC.\) Значит \(FP \perp PK\) и \(\triangle FPK\) — прямоугольный, причём \(FK\) — диаметр вписанной в ромб окружности. Используя теорему Пифагора, получаем, что $$FK = \sqrt{FP^2 + PK^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$$ $$r = OF = OK = \frac{13}{2}$$

Так как \(KF \perp AB\) и \(PF \perp AO\) получаем, что \(\angle KFP = \angle BAO.\) Поэтому прямоугольные треугольники \(KFP\) и \(BAO\) подобны по двум углам. В треугольнике \(BAO\) отрезок \(OF\) — высота, проведённая к гипотенузе. Для определения коэффициента подобия найдём высоту \(PH,\) проведённую из вершины прямого угла \(P\) к гипотенузе \(FK:\) $$PH = \frac{PK \cdot PF}{KF} = \frac{60}{13}$$ Значит, коэффициент подобия $$k = \frac{OF}{PH} = \frac{13}{2} : \frac{60}{13} = \frac{169}{120}$$ Отсюда $$BO = k \cdot PK = \frac{169}{120} \cdot 5 = \frac{169}{24}$$ $$BD = 2 \cdot BO = \frac{169}{12}$$

Ответ: б) \( \cfrac{169}{12} \).