Задание 18. Математика. ЕГЭ 2027. Демо-1

а)

Центр \(O\) вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис \(BG\) и \(CO\) углов \(HBC\) и \(BCH\) треугольника \(CHB.\) Угол \(COG\) между этими биссектрисами равен \(45^\circ .\) Действительно, в прямоугольном треугольнике \(CHB\) $$\angle HBC + \angle HCB = 90^\circ .$$ Так как \(BO\) и \(CO\) — биссектрисы углов \(HBC\) и \(HCB,\) то по теореме о внешнем угле треугольнка $$\angle GOC = \angle OBC + \angle OCB = 45^\circ .$$ Далее, так как биссектриса \(BG\) в равнобедренном треугольнике \(ABC\) является также медианой и высотой, а также серединным перпендикуляром, то \(\triangle OGC\) — прямоугольный. Значит, \(\angle OCG = 45^\circ .\)

Наконец, так как \(BG\) — серединный перпендикуляр, то \(OA = OC.\) Поэтому \(\triangle AOC\) — равнобедренный. Отсюда, \(\angle OAC = \angle OCA = 45^\circ .\) Ч.т.д.

б) В ходе доказательства пункта а) было доказано, что \(\triangle OCG\) — прямоугольный и равнобедренный. Поэтому, \(GO = GC = AC / 2 = 3.\) Тогда \(BG = BO + OG = 1 + 3 = 4.\) По теореме Пифагора $$BC = \sqrt{BG^2 + CG^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

Ответ: б) \(5\)