Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 18. Математика. ЕГЭ 2027. Статград. 30.09.2026
- Просмотры: 71
- Изменено: 30 сентября 2026
Окружность с центром в точке \(O\) касается сторон угла с вершиной \(N\) в точках \(A\) и \(B.\) Отрезок \(BC\) — диаметр этой окружности.
- а) Докажите, что прямая \(AC\) параллельна биссектрисе угла \(ANB.\)
- б) Найдите длину отрезка \(NO,\) если известно, что \(AC = 12\) и \(AB = 16.\)
Решение:
а) Так как \(OA = OB,\) то центр \(O\) окружности лежит на биссектрисе угла \(ANB.\) Кроме того, \(NA = NB,\) как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Значит, \(\triangle ANB\) — равнобедренный и \(NH \perp AB,\) где \(H\) — точка пересечения биссектрисы \(NO\) угла \(ANB\) с основанием \(AB\) равнобедренного треугольника \(ANB.\)
Так как \(BC\) — диаметр, то \(\triangle ABC\) — прямоугольный, причём \(\angle BAC = 90^\circ .\) Поэтому, из того, что \(BA \perp AC\) и \(BA \perp NO\) следует, что \(NO \parallel AC.\) Ч.т.д.
б) Так как \(NO \parallel AC,\) то \(\angle ACB = \angle NOB,\) как соответственные углы при параллельных прямых \(NO\) и \(AC\) и секущей \(BC.\) Значит, прямоугольные треугольники \(NBO\) и \(BAC\) подобны. Получаем, что $$\frac{NO}{BC} = \frac{BO}{AC}$$ По теорме Пифагора $$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20.$$ Поэтому \(BO = 10.\) И $$NO = \frac{BO \cdot BC}{AC} = \frac{10 \cdot 20}{12} = \frac{50}{3}.$$
Ответ: б) \(\cfrac{50}{3}.\)
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования