Задание 18. Вариант 2

Заметим, что знаменатель дроби при неотрицательных \(a\) всегда положительный. Действительно, \(\sqrt{18 x^4 + 7 x^2} \geqslant 0\) при всех \(x\), \(2a+4 > 0\) при \(a \geqslant 0\) и \(4a^2 - 4a + 9 = (2a-1)^2 + 8 > 0\) при всех \(a\), так что логарифм определён для любых \(a\) и \(\log_{1/3}^2 \left(4a^2 - 4a + 9\right) > 0\).

Положим \(\log_{1/3} \left(4a^2 - 4a + 9\right) = b\). Тогда неравенство эквивалентно неравенству $$ 2a + x^2 - 4b \geqslant 5 \sqrt{18 x^4 + 7 x^2} + 2a + 4 + b^2 $$ или $$ x^2 - 5 \sqrt{18 x^4 + 7 x^2} \geqslant (b+2)^2. $$ Если \(b = -2\), то решения неравенства будет состоять из одной точки, если $$ x^2 - 5 \sqrt{18 x^4 + 7 x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^4 = 450 x^4 + 175 x^2 $$ $$ x^2 (449 x^2 + 175) = 0 $$ Выражение в скобках не может равняться нулю (оно не меньше \( 175\)), остаётся вариант \(x^2 = 0\), т.е. имеем единственное решение \(x = 0\).

Если же \(b \neq -2\), то тогда должно выполняться условие $$ x^2 - 5 \sqrt{18 x^4 + 7 x^2} > 0 \quad \Rightarrow \quad x^4 > 450 x^4 + 175 x^2 $$ $$ \Rightarrow \quad -(449x^4 + 175 x^2) > 0 $$ Но это невозможно ни при каких действительных числах.

Итак, \(b=-2\), т.е. \(\log_{1/3} \left(4a^2 - 4a + 9\right) = -2\), а значит $$ 4a^2 - 4a + 9 = 9 \quad \Rightarrow \quad 4a(a-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad a=1 \,\, \mbox{или} \,\, a= 0. $$

Ответ: \(x = 0\) при \(a=1\) или \( a= 0\).