Задание 18. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 1.10.25

Исходное уравнение эквивалентно уравнению $$9x^4 + 4x^2 (5x+2) -a (2x^2 -a) = (3x^2 + 4x -a)^2$$ при условии, что \(3x^2 + 4x -a \geqslant 0.\)

Получаем, что $$9x^4 + 4x^2 (5x+2) -a (2x^2 -a) = 9x^4 + 16x^2 + a^2 + 24x^3 -6ax^2 -8ax$$ $$20x^3 + 8x^2 -2ax^2 + a^2 -16x^2 - a^2 - 24 x^3 + 6ax^2 + 8ax = 0$$ $$x^3 + 2x^2 -ax^2 -2ax = 0$$ $$x (x+2) (x-a) = 0$$ Это уравнение имеет три различных корня \(x = 0,\) \(x=-2,\) \(x = a\) если \(a \neq 0\) и \(a \neq -2.\) Кроме того, для найденных корней должно выполняться условие \(3x^2 + 4x -a \geqslant 0.\) Рассмотрим эти случаи по отдельности.

\(x = 0 \, \Rightarrow \, -a \geqslant 0 \, \Rightarrow \, a \leqslant 0.\)

\(x = -2 \, \Rightarrow \, 12 - 8 - a \geqslant 0 \, \Rightarrow \, a \leqslant 4.\)

\(x = a \, \Rightarrow \, 3a^2 + 4a - a \geqslant 0 \, \Rightarrow \, a (a+1) \geqslant 0.\) Отсюда \(a \leqslant -1\) или \(a \geqslant 0.\)

Собираем все условия на \(a\) вместе $$ \begin{cases} a \neq -2, \\ a \neq 0, \\ a \leqslant 0, \\ a \leqslant 4, \\ a \leqslant -1 \, \lor \, a \geqslant 0 \end{cases} $$ Отсюда получаем, что \(a \in (-\infty; \, -2) \cup (-2; \, -1].\)

Ответ: \((-\infty; \, -2) \cup (-2; \, -1]\)