Задание 18. Математика. ЕГЭ 2026. Статград 1.10.25-2

Исходное уравнение эквивалентно уравнению $$4x^4 + 3x^2 (6x+5) - a (2x^2 -a) = (2x^2 + 5x -a)^2$$ при условии, что \(2x^2 + 5x -a \geqslant 0.\)

Раскрывая скобки, получаем, что $$4x^4 + 18x^3 + 15x^2 -2ax^2 + a^2 = 4x^4 + 25x^2 + a^2 + 20x^3 - 4ax^2 -10 ax$$ $$x^3 + 5x^2 - ax^2 - 5ax = 0$$ $$x (x+5) (x-a) = 0$$ Это уравнение имеет три различных корня \(x = 0,\) \(x = -5\) и \(x = a\) если \(a \neq 0\) и \(a \neq -5.\) Кроме того, для этих корней должно выполняться условие \(2x^2 + 5x -a \geqslant 0.\) Рассмотрим отдельно каждый из этих корней.

\(x = 0\, \Rightarrow \, -a \geqslant 0 \, \Rightarrow a \leqslant 0.\)

\(x = -5 \, \Rightarrow \, 50 - 25 - a \geqslant 0 \, \Rightarrow \, a \leqslant 25.\)

\(x = a \, \Rightarrow \, 2a^2 + 5a - a \geqslant 0 \, \Rightarrow \, a (a + 2) \geqslant 0.\) Отсюда \(a \leqslant -2 \, \lor \, a \geqslant 0.\)

Собираем все ограничения на \(a\) вместе: $$ \begin{cases} a \neq 0, \\ a \neq -5, \\ a \leqslant 0, \\ a \leqslant 25, \\ a \leqslant -2 \, \lor \, a \geqslant 0. \end{cases} $$ Отсюда окончательно получаем, что \(a \in (-\infty; \, -5) \, \cup \, (-5; \, -2].\)

Ответ: \((-\infty; \, -5) \, \cup \, (-5; \, -2]\)