Задание 18. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 22.04.2026

Выражение в левой части уравнения представляет собой сумму квадратов. Поэтому оно неотрицательно. Далее $$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$$ Поэтому $$\left(x^2 - 6x + 10 \right)^2 \geqslant 1$$ Учитывая, что \(\left( x^2 - 2 p^2 + 7p \right)^2 \geqslant 0,\) получаем, что $$\left( x^2 - 6x + 10 \right)^2 + \left( x^2 - 2p^2 + 7p \right)^2 \geqslant 1$$ Но синус не может быть больше единицы. Значит, уравнение из условия задания имеет решение только когда $$ \begin{cases} x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1 = 1 \\ x^2 - 2p^2 + 7p = 0 \\ \sin \left( p \pi + \cfrac{\pi}{2} x \right) = 1 \end{cases} $$ Из первого уравнения системы немедленно получаем, что \(x = 1.\) И это будет единственным корнем уравнения из условия задания. Теперь $$9 - 2p^2 + 7p = 0 \, \Rightarrow \, 2p^2 - 7p - 9 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121$$ $$p_{1, 2} = \frac{7 \pm 11}{4} \, \Rightarrow \, p_1 = -1, \, p_2 = \frac{9}{2}$$ Осталось проверить, для каких найденых \(p\) синус в правой части уравнения равен \(1\) при \(x = 3:\) $$p = -1: \, \sin \left( -\pi + \frac{3 \pi}{2} \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$ $$p = \frac{9}{2}: \, \sin \left( \frac{9 \pi}{2} + \frac{3 \pi}{2} \right) = \sin 6 \pi = 0$$

Ответ: \(-1\)