Задание 18. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 3

Если \(a = 0,\) то уравнение превращается в \(3 |x| = 1.\) Оно имеет два решения. Значит, \(a > 0.\)

Введём две функции $$f(x) = |x - a| + |2x + 3a| , \quad g(x) = 1 - ax.$$ Тогда уравнение из условия задания имеет решение при тех \(x,\) для которых $$f(x) = g(x).$$ Для разных значениях параметра \(a\) функция \(g(x)\) задаёт пучок прямых, проходящих через точку \((0; \, 1).\)

Учитывая, что \(a > 0,\) функцию \(f(x)\) после раскрытия модулей можно представить в виде $$ {f(x) =} \begin{cases} -3x -2a, \quad \mbox{если} \, x \leqslant - \cfrac{3a}{2} \\ x + 4a, \quad \mbox{если} \, - \cfrac{3a}{2} < x \leqslant a \\ 3x + 2a, \quad \mbox{если} \, x > a \end{cases} $$ Получаем, что $$f\left( - \frac{3a}{2} \right) = \frac{5a}{2}$$ $$f(0) = 4a$$ $$f(a) = 5a$$ Построим графики обеих функций и рассмотрим случаи их взаимного расположения

Первый случай: \(a \leqslant \cfrac{1}{4}.\) Тогда точка \((0; \, 1)\) лежит выше ветки \(x + 4a\) или на самой этой ветке (обозначена цифрой \(II\) на графике) функции \(f(x).\) Так как \(a \leqslant \cfrac{1}{4} < 3,\) то график функции \(g(x)\) (выделен синим цветом на чертеже) пересекает ветку \(-3x -2a\) функции \(f(x)\) (обозначена цифрой \(I\) на чертеже). Кроме того, график функции \(g(x)\) пересекает также либо ветку \(II,\) либо ветку \(III\) функции \(f(x).\) Получаем, что при \(a \leqslant \cfrac{1}{4}\) уравнение из условия задания имеет два решения.

Второй случай: \(a > \cfrac{1}{4}.\) Видно, что график функции \(g(x)\) не имеет общих точен с веткой \(I\) графика функции \(f(x),\) если \(a \geqslant 3.\) Этот случай отмечен синим графиком на чертеже. Кроме того, единственное решение может быть также когда \(g(x)\) касается графика \(f(x)\) в точке $$A \left( - \frac{3a}{2}; \, \frac{5a}{2} \right)$$ Этот случай обозначен зелёным графиком на чертеже. Т.е. должно выполняться следующее соотношение $$g \left( - \frac{3a}{2} \right) = 1 + \frac{3a^2}{2} = \frac{5a}{2}$$ $$3a^2 - 5a + 2 = 0$$ $$D = 25 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1$$ $$a = \frac{5 \pm 1}{6}$$ Отсюда получаем, что \(a= 1\) либо \(a = \cfrac{2}{3}.\) Оба этих числа превосходят \(\cfrac{1}{4}.\) Значит для этих значений \(a\) уравнение из условия задания тоже имеет единственное решение.

Ответ: \( \left\{ \cfrac{2}{3}; \, 1 \right\} \cup \left[ 3; \, + \infty \right)\)