Задание 18. Математика. ЕГЭ 2026. Ященко. Вариант 4

Пусть \( b = -a.\) Тогда уравнение из условия задания запишется в виде $$|2 x + 3b | + |x - b| = 0{,}5 - bx. $$ В этом случае нужно найти все положительные значения \(b,\) при которых это уравнение имеет ровно два решения.

Введём функции $$f(x) = |2 x + 3b | + |x - b|, \quad g(x) = 0{,}5 - bx $$ Тогда уравнение из условия задания будет иметь корень \(x_0,\) если $$f\left(x_0\right) = g\left(x_0\right)$$ а графики этих функций пересекаются в точке с такой абсциссой. Функция \(g(x, \, b)\) задаёт пучок прямых, проходящих через точку \((0; \, 0{,}5).\) Раскрывая модуль в функции \(f(x),\) получаем $$ {f(x) = } \begin{cases} -3x - 2b, \quad \mbox{если} \, x \leqslant -\cfrac{3b}{2} \\ x + 4b, \quad \mbox{если} \, -\cfrac{3b}{2} < x < b \\ 3x + 2b, \quad \mbox{если} \, x \geqslant b \end{cases} $$ В частности $$ f \left( - \frac{3b}{2} \right) = \frac{5b}{2}, \, \, f(0) = 4b, \,\, f(b) = 5b $$ Рассмотрим два случая:

Первый случай: \(b \leqslant \cfrac{1}{8}.\) В этом случае точка \((0, \, 0{,}5)\) лежит не ниже ветки \(x + 4b\) (на чертеже обозначена цифрой \(II).\) Так как \(\cfrac{1}{2} < 3,\) модуль углового коэффициента прямой \(g(x)\) меньше модуля углового коэффициента прямой \(-3x-2b,\) на чертеже обозначена цифрой \(I,\) то эти прямые пересекаются. Кроме того, график прямой \(g(x)\) пересекается либо с веткой \(II,\) либо с веткой \(III\) функции \(f(x).\) Значит, при \(0 < b \leqslant \cfrac{1}{8}\) уравнение имеет ровно два решения.

Второй случай: \(b > \cfrac{1}{8}.\) Если \(b \geqslant 3,\) то график \(g(x)\) пересекается только с веткой \(II.\) Т.е. уравнение имеет одно решение. Значит, чтобы исходное уравнение имело два решения, необходимо, чтобы \(b < 3.\) Однако, здесь могут быть ситуации, когда решений вообще нет (красная прямая на графике), либо решение только одно (зелёный график), когда прямая \(g(x)\) проходит через точку $$A \left( - \frac{3b}{2}; \, \frac{5b}{2} \right).$$ Получаем следующее условие для двух решений: $$g \left( - \frac{3b}{2} \right) > \frac{5b}{2}$$ $$\frac{1}{2} + \frac{3b^2}{2} > \frac{5b}{2}$$ $$3b^2 - 5b + 1 > 0$$ Находим корни трёхчлена \(3b^2 -5b + 1:\) $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 13$$ $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \quad x_2 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$$ Так как коэффициент при \(b^2\) положительный, то ветви параболы направлены вверх. Отсюда получаем, что $$b \in \left( -\infty; \, \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \right) \cup \left( \frac{5 + \sqrt{13}}{6} ; \, + \infty \right) .$$ Теперь учтём, что \(b > \cfrac{1}{8},\) а с другой стороны \(b < 3.\) Так как $$\frac{5 - \sqrt{13}}{6} > \frac{5 - \sqrt{16}}{6} = \frac{5 - 4}{6} = \frac{1}{6} > \frac{1}{8}$$ $$\frac{5 + \sqrt{13}}{4} < \frac{5 + 4}{6} = \frac{3}{2} < 3$$, получаем, что во втором случае $$b \in \left( \frac{1}{8} ; \, \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \right) \cup \left( \frac{5 + \sqrt{13}}{6}; \, 3 \right)$$ Объединяя вместе первый и второй случай, получаем, что $$b \in \left( 0 ; \, \frac{5 - \sqrt{13}}{6} \right) \cup \left( \frac{5 + \sqrt{13}}{6}; \, 3 \right)$$ $$a \in \left( -3 ; \, - \frac{5 + \sqrt{13}}{6}; \right) \cup \left( - \frac{5 - \sqrt{13}}{6} ; \, 0 \right) $$

Ответ: \(a \in \left( -3 ; \, \cfrac{-5 - \sqrt{13}}{6}; \right) \cup \left( \cfrac{\sqrt{13} - 5}{6} ; \, 0 \right) \)