Задание 18. Математика. ЕГЭ. Статград. 14.05.2025

Заметим, что \(a \neq 0.\) Действительно, если \(a = 0,\) то тогда из первого уравнения получаем, что \(x = 13\) или \(x = 0.\) Однако, \(x = 13\) не подходит, так как противоречит второму уравнению. В результате получаем только два решения системы: \(x = 0, y = 12\) и \(x = 0, y = -12.\) В дальнейшем полагаем, что \(a \neq 0.\) Первое уравнение в системе распадается на два уравнения \(x +ay - 13 = 0\) и \(x + ay - 13a = 0.\) Каждое из этих уравнений задаёт на декартовой плоскости прямую, причём эти прямые параллельны (их угловой коэффициент равен \(\cfrac{1}{a}).\) Значит, чтобы система имела четыре различных решения, необходимо, чтобы каждая из этих двух прямых пересекала окружность, описываемую вторым уравнением системы, и они не должны при этом совпадать. А совпадают они при \(a = 1.\) Найдём значения \(a,\) при которых две прямые из первого уравнения системы пересекают окружность \(x^2 + y^2 = 144.\)

Первый случай. Прямая \(x + ay - 13 = 0.\) $$(13 - ay)^2 + y^2 = 144 \, \Rightarrow \, y^2 (a^2 + 1) - 26 ay + 25 = 0 \, \Rightarrow$$ $$D = 26^2 a^2 - 4 \cdot 25 (a^2 + 1) = 576 a^2 - 100 > 0$$ $$|a| > \frac{5}{12} \, \Rightarrow \, a \in \left(-\infty ; - \frac{5}{12}\right) \cup \left( \frac{5}{12} ; + \infty \right) $$

Второй случай. Прямая \(x + ay - 13a = 0.\) $$(13a - ay)^2 + y^2 = 144 \, \Rightarrow \, (1 + a^2) y^2 - 26 a^2 y + 169 a^2 - 144 = 0 \, \Rightarrow$$ $$D = 676 a^4 - 4 (1 + a^2) (169 a^2 - 144) = - 100 a^2 + 576 > 0$$ $$- \frac{12}{5} < a < \frac{12}{5}$$

Собирая всё вместе, получаем, что \(a \in \left( - \cfrac{12}{5} ; \, - \cfrac{5}{12} \right) \cup \left( \cfrac{5}{12}; \, 1 \right) \cup \left( 1; \, \cfrac{12}{5} \right).\)

Ответ: \(\left( - \cfrac{12}{5} ; \, - \cfrac{5}{12} \right) \cup \left( \cfrac{5}{12}; \, 1 \right) \cup \left( 1; \, \cfrac{12}{5} \right)\)