Задание 18. Математика. ЕГЭ. Статград. 23.04.2025-1

Преобразуем исходное уравнение следующим образом: $$3^{2x} - 3^x \cdot \left( (4^a + 4) + (16 - 2^a) \right) + \left( 4^a + 4 \right) \cdot \left( 16 - 2^a \right) = 0.$$ Это — квадратное уравнение, относительно \(3^x,\) которое по теореме Виета имеет следующие решения: \(3^x = 4^a + 4\) и \(3^x = 16 - 2^a.\) Первое из этих уравнений всегда имеет решение, потому что \(4^a + 4 > 0 \,\,\forall a \in \mathbb{R}.\) Поэтому, исходное уравнение имеет единственное решение или в случае, когда оба корня совпадают, или когда \(16 - 2^a \leqslant 0.\)

Первый случай. \(4^a + 4 = 16 - 2^a.\) Это уравнение легко преобразовать в \(2^{2a} + 2^a - 12 = 0.\) Решая его относительно \(2^a\) по теореме Виета получаем, что либо \(2^a = -4\) и это уравнение не имеет решений в действительных числах, либо \(2^a = 3,\) т.е. \(a = \log_2 3.\)

Второй случай. \(16 - 2^a \leqslant 0,\) т.е. \(2^a \geqslant 2^4, \) \(a \geqslant 4.\)

Ответ: \(\log_2 3; \, [4; \, +\infty).\)