Задание 19. Математика. ЕГЭ 2024. Вариант 1

а) Да, может. Например, число \(100\). Тогда \(100 - 1 = 99\). Заметим, что этому условию удовлетворяют также все натуральные числа от \(101\) до \(109\).

б) Нет, не может. Доказательство. Обозначим натуральное число из условия задачи через \(N\). Если это число пятизначное \( N = \overline{abcde} \), \( N > 9999 \), а все \(a, \, b, \, c, \, d, \, e \) неотрицательные и не превосходят \(9\) то, \( A \leqslant 9 \cdot 5 = 45\), и \( N \leqslant 2025 \). Противоречие. Значит \( N < 10~000\), \(N = \overline{abcd} \). В этом случае \(A \leqslant 9 \cdot 4 = 36\), \( N \leqslant 2016 \) и, значит, либо \( a = 1, b = 9 \), либо \( a = 2, b = 0\).В первом случае имеем \( N - 1980 = 1 \cdot 1000 + 9 \cdot 100 + 10c + d - 1000 - 900 - 80 = 1 + 9 + c + d \). Отсюда, \( 10 (c - 8) = 10 + c \,\, \Rightarrow \,\, c = 10 \). Но это противоречит условию \( c \leqslant 9\). Во втором случае получаем, \( 2000 + 10c + d - 1000 - 900 - 80 = 2 + c + d \,\, \Rightarrow \,\, c = -2 \). Но \( c \geqslant 0 \) по определению \(c\).

в) Если натуральное число из условия задачи \(N\) шестизначное, т.е. \(N \geqslant 100~000\), \(N = \overline{abcdef},\) причем все \(a,b,c,d,e,f\) неотрицательные и не превосходят \(9\). Тогда \( A \leqslant 6 \cdot 9 = 54\) и \(N \leqslant 22~158 + 54 = 22~212 < 100~000\). Значит, \(N\) пятизначное, \(N = \overline{abcde} \). В этом случае, \(A \leqslant 5 \cdot 9 = 45 \) и \(N \leqslant 22~158 + 45 = 22~203\) и, значит, \( a = b = 2 \). Но тогда \( A \leqslant 2 + 2 + 3 \cdot 9 = 31 \), \( N \leqslant 22~158 + 31 = 22~189 \), и, поэтому \( c = 1 \). Отсюда \( N - A = 20~000 + 2~000 + 100 + 10d + e - 20~000 - 2~000 - 100 - 50 - 8 = 10d + e - 58 = 5 + d + e .\) Теперь, \( 9d = 63\), значит \( d = 7\). Таким образом, числа, удовлетворяющие условию из пункта в) задачи имеют вид \(\overline{22~17e}\), \(0 \leqslant e \leqslant 9\). Те из них, которые делятся на \(3\) — это \(22~170\), \(22~173\), \(22~176\), \(22~179\).

Ответ: а) да; б) нет; с) \(22~170\), \(22~173\), \(22~176\), \(22~179\).