Математика. ЕГЭ
Задания для подготовки
Задачи разных лет из реальных экзаменов, демо-вариантов, сборников задач и других источников
Задание 19. Математика. ЕГЭ 2026. Статград. 17.03.2026
- Просмотры: 1123
- Изменено: 17 марта 2026
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более \(\cfrac{3}{13}\) от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более \(\cfrac{3}{8}\) от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
- а) Могло ли быть в группе \(9\) мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было \(20\) учащихся?
- б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было \(20\) учащихся?
- в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение:
а) Да, может. Если в группе всего \(9\) мальчиков, то девочек в ней \(20 - 9 = 11.\) Пусть и в кино, и в театр сходили все \(11\) девочек. И пусть театр посетили \(3\) мальчика, а в кино сходили оставшиеся \(6\) мальчиков. Получаем тогда, что $$\frac{3}{13} (11 + 3) = 3 \cdot \frac{14}{13} > 3$$ $$\frac{3}{8} (11 + 6) = 3 \cdot \frac{17}{8} > 6$$ Эти два неравенства удовлетворяют требованию пункта а задания.
б) Наибольшее количество мальчиков получится в том случае, когда мальчики ходят либо только в кино, либо только в театр, а все девочки ходят и в театр, и в кино. Пусть в группе \(m\) мальчиков, тогда девочек в группе \((20 - m).\) Далее, пусть в театр сходили \(t\) мальчиков, тогда в кино пошли \((m-t)\) мальчиков. Получаем следующие неравенства $$ \begin{cases} t \leqslant \cfrac{3}{13} (20 - m + t) \\ m - t \leqslant \cfrac{3}{8} (20 - m + m - t) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 8 m - 5 t \leqslant 60 \\ 10 t + 3 m \leqslant 60 \end{cases} $$ $$ 19 m \leqslant 180 $$ Отсюда получаем, что наибольшее натуральное \(m,\) удовлетворяющее этому условию, равно \(9.\)
в) Пусть в группе \(d\) девочек, \(m\) мальчиков. Причём мальчики ходят либо только в кино, либо только в театр, а девочки ходят и в кино, и в театр. Пусть количество мальчиков, посетивших театр, равно \(t.\) Поучаем, что $$ \begin{cases} t \leqslant \cfrac{3}{13} (d - m + t) \\ m - t \leqslant \cfrac{3}{8} (d - m + m - t) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 10 t + 3 m \leqslant 3 d \\ 8 m - 5 t \leqslant 3 d \end{cases} $$ Отсюда $$19 m \leqslant 9d$$ $$\frac{d}{m} \geqslant \frac{19}{ 9}$$ $$\frac{d}{m} + 1 \geqslant \frac{19}{ 9} + 1$$ $$\frac{d + m}{m} \geqslant \frac{28}{ 9}$$ Так как функция \(f(x) = \cfrac{1}{x}\) монотонно убывает для всех положительных \(x,\) из последнего неравенства получаем, что $$\frac{m}{d + m} \leqslant \frac{9}{28}$$ $$-\frac{m}{d + m} \geqslant -\frac{9}{28}$$ $$1 - \frac{m}{d + m} \geqslant 1 - \frac{9}{28}$$ $$\frac{d}{d + m} \geqslant \frac{19}{28}$$ Отсюда, наименьшая доля девочек в группе будет \(\cfrac{19}{28}.\)
Ответ: а) да; б) \(9;\) в) \(\cfrac{19}{28}\).
Обсуждение задания
Здесь пока нет ни одного комментария. Будьте первым!
Новый тренажёр-эмулятор
Станции КЕГЭ
Эффективно готовьтесь к ЕГЭ по информатике с новым тренажёром, эмулирующем работу станции КЕГЭ, которая используется на реальном экзамене.
Новое видео
Методы решения задания 16 ЕГЭ по Информатике «Вычисление рекуррентных выражений»
Поддержать автора сайта!
Поддержите автора сайта, если материалы, размещённые здесь, оказались вам полезны.
Совершая донат, вы соглашаетесь с Условиями использования