Задание 19. Математика. ЕГЭ. Статград. 23.04.2025-1

а) Обозначим \(a \% b\) операцию нахождения остатка при делении натурального числа \(a\) на натуральное число \(b.\) Число \(a\) оканчивается на \(6\) — значит \(a \% 10 = 6.\) Пусть чисел, оканчивающихся на \(6\) ровно \(25.\) Тогда сумма этих чисел будет оканчиваться на \((6 \cdot 25) \% 10 = 0.\) Аналогично сумма \(25\) чисел, оканчивающихся на \(8,\) будет оканчиваться на \((8 \cdot 25) \% 10 = 0.\) А значит и сумма всех \(50\) чисел будет оканчиваться на \(0,\) что противоречит условию задачи.

б) Наименьшие \(49\) различных натуральных чисел, оканчивающихся на \(6\) следующие $$6, \, 16, \, 26, \, \ldots , \, 476, \, 486.$$ Их сумма $$S = \frac{6 + 486}{2} \cdot 49 = 246 \cdot 49 > 240 \cdot 40 = 9600$$ что уже превосходит \(8282.\) Поэтому \(49\) различных чисел, заканчивающихся на \(6\) в данной задаче быть не может

в) Пусть \(n\) — максимальное количество чисел, оканчивающихся на \(6.\) Это числа $$6, \, 16, \, 26, \, \ldots , \, (n-2) \cdot 10 + 6, \, (n-1) \cdot 10 + 6.$$ По условию их сумма $$\frac{6 + (n-1) \cdot 10 + 6}{2} \cdot n < 8282$$ $$5n^2 + n < 8282$$ Легко заметить, что для \(n = 40\) это неравенство выполняется: \(5 \cdot 40^2 + 40 = 5 \cdot 1600 + 40 = 8040 < 8282.\) А для \(n = 41\) оно уже не справедливо: \(4 \cdot 1681 + 41 = 8446 > 8282.\) Значит \(n\) не превосходит \(40.\) Но \(n\) не может равняться \(40,\) потому что сумма \(40\) чисел, оканчивающихся на \(6,\) будет оканчиваться на \(0\) и сумма оставшихся \(10\) чисел, которые оканчиваются на \(8,\) тоже будет оканчиваться на \(0,\) а значит и вся сумма \(50\) чисел тоже будет оканчиваться на \(0.\) Если \(n = 39,\) то сумма чисел, оканчивающихся на \(6,\) будет оканчиваться на \((6 \cdot 39) \% 10 = (6 \cdot 9) \% 10 = 4.\) А сумма оставшихся \(11\) чисел, оканчивающихся на \(8,\) будет оканчиваться на \((8 \cdot 11) \% 10 = (8 \cdot 1) \% 10 = 8.\) И значит сумма всех \(50\) чисел будет оканчиваться на \((4 + 8) \% 10 = 2.\) Это нам подходит. Возьмём первые \(39\) оканчивающихся на \(6\) чисел. Их сумма $$S_6 = \frac{6 + 386}{2} \cdot 39 = 7644.$$ Посчитаем сумму наименьших различных \(11\) натуральных чисел, оканчивающихся на \(8.\) $$S_8 = \frac{8 + 108}{2} \cdot 11 = 638.$$ А так как \(S_6 + S_8 = 8282,\) то мы нашли такой минимальный набор и предъявили его.

Ответ: а) нет; б) нет; в) \(11.\)