Задание 13. Вариант 6
а) Решите уравнение \( 19 \cdot 4^x - 5 \cdot 2^{x+2} + 1 = 0. \)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( [ -5; \, -4 ] \) .
Решение:
а) Замена \( 2^x= t\) приводит к уравнению \( 19 t^2 -20 t + 1 = 0 \), корни которого \( t_1 = 1\), \(t_2 = \dfrac{1}{19} \). То есть \( x_1 = 0\), \( x_2 = - \log_2 19 \).
б) Очевидно, что \( 0 \notin [-5; \, -4 ] \). Далее, так как \( \log_2 16 < \log_2 19 < \log_2 32 \), т.е. \( 4 < \log_2 19 < 5 \), то \( -5 < - \log_2 19 < -4 \).
Ответ: а) \( 0; \, - \log_2 19 \); б) \( - \log_2 19 \).