Решение:

Выделим полный квадрат под знаком корня: $$ a^2 + 7 | x+1 | + 5 \sqrt{(x+1)^2 + 4} = 2a + 3 | x+1 - 4a|. $$ Замена \( t = x+1 \). Также перенесём некоторые члены в другую сторону равенства. Получаем: $$ a^2 - 2a + 5 \sqrt{t^2 + 4} = 3 |t - 4a | - 7 |t|. $$ Пусть \( f(t) = a^2 -2a + 5\sqrt{t^2 + 4} \), \( g(t) = 3 |t-4a| - 7 |t| \).

При \( t \geqslant 0 \) функция \(f(t) \) возрастает, принимая значения от \(f(0)\) до \( + \infty \). При \( t < 0 \) функция \( f(t)\) убывает, принимая значения от \( +\infty \) до \( f(0) \).

При \( t \geqslant 0 \) функция \(g(t) \) убывает, принимая значения от \(g(0)\) до \( - \infty \). При \( t < 0 \) функция \( g(t)\) возрастает, принимая значения от \( -\infty \) до \( g(0) \).

Т.о. \( \min f(t) = f(0) = a^2 -2a+10 \), \( \max g(t) = g(0) = 12 |a| \). Так как наибольшее значение \( g(t)\) и минимальное значение \( f(t)\) обе функции принимают в одной и той же точке \( t = 0\), то чтобы исходное уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы \( \min f(t) \leqslant \max g(t) \), т.е. \( a^2-2a+10 \leqslant 12 |a| \).

\( a \geqslant 0 \): $$ a^2 -2a+10 \leqslant 12a \quad \Rightarrow \quad 7-\sqrt{39} \leqslant a \leqslant 7 + \sqrt{39}. $$ \( a < 0 \): $$ a^2 - 2a+10 \leqslant -12a \quad \Rightarrow \quad -5-\sqrt{15} \leqslant a \leqslant -5 + \sqrt{15}. $$ Заметим также, что \( 7 - \sqrt{39} > 0 \), \( -5 + \sqrt{15} < 0 \).

Ответ: \( \left[ -5-\sqrt{15} ; -5+\sqrt{15} \right] \cup \left[ 7-\sqrt{39}; 7+ \sqrt{39} \right] \).