В основании прямой призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) лежит параллелограмм \(ABCD\) с углом \(60^\circ\) при вершине \(A.\) На рёбрах \(A_1B_1,\) \(B_1C_1\) и \(BC\) отмечены точки \(M,\) \(K\) и \(N\) соответственно так, что \(AMKN\) — равнобедренная трапеция с основаниями \(2\) и \(4.\)

• а) Докажите, что точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1.\)
• б) Найдите высоту призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1,\) если её объём равен \(16\) и известно, что точка \(K\) делит ребро \(B_1C_1\) в отношении \(B_1 K : KC_1 = 1 : 3.\)

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) отметили точки \(M\) и \(K\) на рёбрах \(AA_1\) и \(A_1B_1\) соответственно. Известно, что \(A_1M=4MA,\) \(A_1K =KB_1.\) Через точки \(M\) и \(K\) провели плоскость \(\alpha\) перпендикулярно грани \(ABB_1A_1.\)

• а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) проходит через вершину \(C_1.\)
• б) Найдите площадь сечения призмы \(ABCA_1B_1C_1\) плоскостью \(\alpha,\) если все рёбра призмы равны \(50.\)

Основанием пирамиды \(SABCD\) является ромб \(ABCD\) со стороной \(6.\) Боковые грани \(SAB\) и \(SCB\) перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол \(150^\circ .\) Две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом \(60^\circ .\)

• а) Докажите, что грани \(SAD\) и \(SCD\) равновелики.
• б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) высота \(AA_1\) в \(1{,}25\) раза больше стороны \(AB\) основания \(ABC.\) Через прямую \(A_1C_1\) перпендикулярно плоскости \(ACB_1\) провели плоскость \(\alpha.\)

• а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит ребро \(BB_1\) в отношении \(12 : 13.\)
• б) Найдите угол между плоскостями \(BCC_1\) и \(\alpha .\)

В правильной пирамиде \(SABCD\) с высотой \(SO\) точка \(K\) — середина ребра \(SB.\) Прямая \(DK\) пересекается с плоскостью \(SAC\) в точке \(N.\)

• а) Докажите, что прямая \(a,\) проходящая через точку \(N\) параллельно прямой \(SC,\) делит ребро \(SA\) в отношении \(1 : 2.\)
• б) Найдите расстояние между прямыми \(DK\) и \(SC,\) если \(AB = 2 \sqrt{3},\) \(SO = 9.\)

В правильной пирамиде \(SABCD\) с высотой \(SO\) точка \(K\) — середина ребра \(SB.\) Прямая \(DK\) пересекается с плоскостью \(SAC\) в точке \(N.\)

• а) Докажите, что прямая \(a,\) проходящая через точку \(N\) параллельно прямой \(SC,\) делит ребро \(SA\) в отношении \(1 : 2.\)
• б) Найдите расстояние между прямыми \(DK\) и \(SC,\) если \(AB = 2,\) \(SO = 3.\)