Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число \(A\).

а) Может ли \(A\) равняться \(99\)?

б) Может ли \(A\) равняться \(1980\)?

в) Найдите все натуральные числа, кратные \(3\), для которых \(A = 22~158\).

Имеется \( 8 \) карточек. На них записывают по одному каждое из чисел \( -1 \), \( 2 \), \( 4 \), \( -6 \), \( 7 \), \( -8 \), \( -10 \), \( 12 \). Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел \( -1 \), \( 2 \), \( 4 \), \( -6 \), \( 7 \), \( -8 \), \( -10 \), \( 12 \). После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться \( 0\)?

б) Может ли в результате получиться \( 1 \)?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно \( 792 \) и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?

а) Приведите пример такого натурального числа \( n \), что числа \( n^2 \) и \( (n+16)^2 \) дают одинаковый остаток при делении на \( 200 \).

б) Сколько существует трёхзначных чисел \( n \) с указанным в пункте a свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел \( m \), для каждого из которых существует ровно \( 36 \) трёхзначных чисел \( n \), таких, что \( n^2 \) и \( (n+m)^2 \) дают одинаковый остаток при делении на \( 200 \)?

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \( 2 ?\)

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \( \dfrac{4}{3} ? \)

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно \( 20 \)?

На доске было написано \( 20 \) натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит \( 40 \). Вместо некоторые из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными \( 0 \), с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?

б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось \( 27 \). Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным \( 34 \)?

в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось \( 27 \). Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.