Юра и Оля играют в числа. Юра записывает различные натуральные числа, которые оканчиваются цифрой $6,$ а Оля — которые оканчиваются цифрой $8.$ Через некоторое время оказалось, что всего записано $50$ чисел, а их сумма равна $8282.$

• а) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой $6,$ и чисел, оканчивающихся цифрой $8,$ записано поровну?
• б) Могло ли оказаться, что чисел, оканчивающихся цифрой $6,$ записано ровно $49?$
• в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся цифрой $8,$ могло быть записано?

Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число $A$.

а) Может ли $A$ равняться $99$?

б) Может ли $A$ равняться $1980$?

в) Найдите все натуральные числа, кратные $3$, для которых $A=22158$.

Имеется $8$ карточек. На них записывают по одному каждое из чисел $-1$, $2$, $4$, $-6$, $7$, $-8$, $-10$, $12$. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел $-1$, $2$, $4$, $-6$, $7$, $-8$, $-10$, $12$. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться $0$?

б) Может ли в результате получиться $1$?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно $792$ и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?

а) Приведите пример такого натурального числа $n$, что числа $n^2$ и $(n+16{)}^2$ дают одинаковый остаток при делении на $200$.

б) Сколько существует трёхзначных чисел $n$ с указанным в пункте a свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел $m$, для каждого из которых существует ровно $36$ трёхзначных чисел $n$, таких, что $n^2$ и $(n+m{)}^2$ дают одинаковый остаток при делении на $200$?

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно $2?$

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно ${\displaystyle \frac{4}{3}}?$

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно $20$?