Из натурального числа вычли сумму его цифр и получили натуральное число \(A\).

а) Может ли \(A\) равняться \(99\)?

б) Может ли \(A\) равняться \(1980\)?

в) Найдите все натуральные числа, кратные \(3\), для которых \(A = 22~158\).

Имеется \( 8 \) карточек. На них записывают по одному каждое из чисел \( -1 \), \( 2 \), \( 4 \), \( -6 \), \( 7 \), \( -8 \), \( -10 \), \( 12 \). Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел \( -1 \), \( 2 \), \( 4 \), \( -6 \), \( 7 \), \( -8 \), \( -10 \), \( 12 \). После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а) Может ли в результате получиться \( 0\)?

б) Может ли в результате получиться \( 1 \)?

в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно \( 792 \) и
а) пять;
б) четыре;
в) три
из них образуют геометрическую прогрессию?

а) Приведите пример такого натурального числа \( n \), что числа \( n^2 \) и \( (n+16)^2 \) дают одинаковый остаток при делении на \( 200 \).

б) Сколько существует трёхзначных чисел \( n \) с указанным в пункте a свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел \( m \), для каждого из которых существует ровно \( 36 \) трёхзначных чисел \( n \), таких, что \( n^2 \) и \( (n+m)^2 \) дают одинаковый остаток при делении на \( 200 \)?

Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.

а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \( 2 ?\)

б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно \( \dfrac{4}{3} ? \)

в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно \( 20 \)?