Ребро \( SA \) пирамиды \( SABCD \) перпендикулярно плоскости основания \( ABC .\)

а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки \( A ,\) делится плоскостью, проходящей через середины рёбер \( AB , \) \( AC \) и \( SA ,\) пополам.

б) Найдите расстояние от вершины \( A \) до этой плоскости, если \( SA = \sqrt{5} ,\) \( AB = AC =5 ,\) \( BC = 2 \sqrt{5} .\)

В правильной четырёхугольной призме \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) сторона \( AB \) основания равна \( 8 ,\) а боковое ребро \( AA_1 \) равно \( 4 .\) На рёбрах \( BC \) и \( C_1 D_1 \) отмечены точки \( K \) и \( L \) соответственно, причём \( CK = 5 ,\) а \( C_1 L = 3 .\) Плоскость \( \gamma \) параллельна прямой \( BD \) и содержит точки \( K \) и \( L . \)

а) Докажите, что прямая \( A_1 C \) перпендикулярна плоскости \( \gamma . \)

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \( A_1 \), а основание — сечение данной призмы плоскостью \( \gamma . \)

В правильной четырёхугольной призме \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) сторона \( AB \) основания равна \( 6 ,\) а боковое ребро \( AA_1 \) равно \( \sqrt{6} .\) На рёбрах \( BC \) и \( C_1 D_1 \) отмечены точки \( K \) и \( L \) соответственно, причём \( CK = 3 ,\) а \( C_1 L = 2 .\) Плоскость \( \gamma \) параллельна прямой \( BD \) и содержит точки \( K \) и \( L . \)

а) Докажите, что прямая \( A_1 C \) перпендикулярна плоскости \( \gamma . \)

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \( A_1 \), а основание — сечение данной призмы плоскостью \( \gamma . \)

В правильной четырёхугольной призме \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) сторона \( AB \) основания равна \( 6 ,\) а боковое ребро \( AA_1 \) равно \( 3 \sqrt{2} .\) На рёбрах \( BC \) и \( C_1 D_1 \) отмечены точки \( K \) и \( L \) соответственно, причём \( CK = 4 ,\) а \( C_1 L = 1 .\) Плоскость \( \gamma \) параллельна прямой \( BD \) и содержит точки \( K \) и \( L . \)

а) Докажите, что прямая \( A_1 C \) перпендикулярна плоскости \( \gamma . \)

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \( A_1 \), а основание — сечение данной призмы плоскостью \( \gamma . \)

В правильной четырёхугольной призме \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) сторона \( AB \) основания равна \( 4 ,\) а боковое ребро \( AA_1 \) равно \( 2 \sqrt{2} .\) На рёбрах \( BC \) и \( C_1 D_1 \) отмечены точки \( K \) и \( L \) соответственно, причём \( CK = 3 ,\) а \( C_1 L = 1 .\) Плоскость \( \gamma \) параллельна прямой \( BD \) и содержит точки \( K \) и \( L . \)

а) Докажите, что прямая \( A_1 C \) перпендикулярна плоскости \( \gamma . \)

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \( A_1 \), а основание — сечение данной призмы плоскостью \( \gamma . \)