На ребре \( AA_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) взята точка \( E \) так, что \( A_1 E : EA = 3: 1 ,\) на ребре \( BB_1 \) — точка \( F \) так, что \( B_1 F : FB = 1 : 3 \), а на ребре \( B_1 C_1 \) — точка \( T \) так, что \( B_1 T : TC_1 = 1 : 2 .\) Известно, что \( AB=4 , \) \( AD = 3 , \) \( AA_1 =4 . \)

а) Докажите, что плоскость \( EFT \) проходит через вершину \( D_1 . \)

б) Найдите угол между плоскостью \( EFT \) и плоскостью \( B B_1 C_1 . \)

В основании пирамиды \( SABCD \) лежит прямоугольник \( ABCD \) со стороной \( AB = 6 \) и диагональю \( BD = 11 .\) Все боковые рёбра пирамиды равны \( 6 .\) На отрезке \( BD \) отмечена точка \( E ,\) а на ребре \( AS \) — точка \( F \) так, что \( SF = BE = 5 . \)

а) Докажите, что плоскость \( CEF \) параллельна ребру \( SB .\)

б) Плоскость \( CEF \) пересекает ребро \( SD \) в точке \( Q .\) Найдите расстояние от точки \( Q \) до плоскости \( ABC . \)

В основании пирамиды \( SABCD \) лежит прямоугольник \( ABCD \) со стороной \( AB = 3 \) и диагональю \( BD = 5 .\) Все боковые рёбра пирамиды равны \( 3 .\) На отрезке \( BD \) отмечена точка \( E ,\) а на ребре \( AS \) — точка \( F \) так, что \( SF = BE = 2 . \)

а) Докажите, что плоскость \( CEF \) параллельна ребру \( SB .\)

б) Плоскость \( CEF \) пересекает ребро \( SD \) в точке \( Q .\) Найдите расстояние от точки \( Q \) до плоскости \( ABC . \)

В основании прямой призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C .\) Точка \( M \) — середина ребра \( B_1 C_1 ,\) точка \( N \) лежит на ребре \( AC ,\) причём \( AN : NC = 3 : 1 .\) Катет \( AC \) вдвое больше бокового ребра \( AA_1 \) призмы.

а) Докажите, что прямая \( MN \) перпендикулярна прямой \( CA_1 .\)

б) Найдите угол между прямой \( MN \) и плоскостью основания \( A_1 B_1 C_1 ,\) если \( \sin \angle CBA = \dfrac{2}{\sqrt{7}} . \)

В основании прямой призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C .\) Точка \( M \) — середина ребра \( B_1 C_1 ,\) точка \( N \) лежит на ребре \( AC ,\) причём \( AN : NC = 8 : 1 .\) Катет \( AC \) втрое больше бокового ребра \( AA_1 \) призмы.

а) Докажите, что прямая \( MN \) перпендикулярна прямой \( CA_1 .\)

б) Найдите угол между прямой \( MN \) и плоскостью основания \( A_1 B_1 C_1 ,\) если \( \sin \angle CBA = \dfrac{3}{5} . \)