В основании пирамиды \( SABCD \) лежит прямоугольник \( ABCD \) со стороной \( AB = 3 \) и диагональю \( BD = 5 .\) Все боковые рёбра пирамиды равны \( 3 .\) На отрезке \( BD \) отмечена точка \( E ,\) а на ребре \( AS \) — точка \( F \) так, что \( SF = BE = 2 . \)

а) Докажите, что плоскость \( CEF \) параллельна ребру \( SB .\)

б) Плоскость \( CEF \) пересекает ребро \( SD \) в точке \( Q .\) Найдите расстояние от точки \( Q \) до плоскости \( ABC . \)

В основании прямой призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C .\) Точка \( M \) — середина ребра \( B_1 C_1 ,\) точка \( N \) лежит на ребре \( AC ,\) причём \( AN : NC = 3 : 1 .\) Катет \( AC \) вдвое больше бокового ребра \( AA_1 \) призмы.

а) Докажите, что прямая \( MN \) перпендикулярна прямой \( CA_1 .\)

б) Найдите угол между прямой \( MN \) и плоскостью основания \( A_1 B_1 C_1 ,\) если \( \sin \angle CBA = \dfrac{2}{\sqrt{7}} . \)

В основании прямой призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C .\) Точка \( M \) — середина ребра \( B_1 C_1 ,\) точка \( N \) лежит на ребре \( AC ,\) причём \( AN : NC = 8 : 1 .\) Катет \( AC \) втрое больше бокового ребра \( AA_1 \) призмы.

а) Докажите, что прямая \( MN \) перпендикулярна прямой \( CA_1 .\)

б) Найдите угол между прямой \( MN \) и плоскостью основания \( A_1 B_1 C_1 ,\) если \( \sin \angle CBA = \dfrac{3}{5} . \)

В основании прямой призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C .\) Точка \( M \) — середина ребра \( B_1 C_1 ,\) точка \( N \) лежит на ребре \( AC ,\) причём \( AN : NC = 15 : 1 .\) Катет \( AC \) в четыре раза больше бокового ребра \( AA_1 \) призмы.

а) Докажите, что прямая \( MN \) перпендикулярна прямой \( CA_1 .\)

б) Найдите угол между прямой \( MN \) и плоскостью основания \( A_1 B_1 C_1 ,\) если \( \cos \angle CBA = \dfrac{1}{\sqrt{5}} . \)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha .\)

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите объём пирамиды \( MBKL ,\) если \( AB = 6 .\)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha .\)

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите объём пирамиды \( MCKL , \) если \( AB = 4 .\)