В правильной четырёхугольной призме \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) сторона \( AB \) основания равна \( 5 ,\) а боковое ребро \( AA_1 \) равно \( \sqrt{5} .\) На рёбрах \( BC \) и \( C_1 D_1 \) отмечены точки \( K \) и \( L \) соответственно, причём \( CK = 2 ,\) а \( C_1 L = 1 .\) Плоскость \( \gamma \) параллельна прямой \( BD \) и содержит точки \( K \) и \( L . \)

а) Докажите, что прямая \( A_1 C \) перпендикулярна плоскости \( \gamma . \)

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \( A_1 \), а основание — сечение данной призмы плоскостью \( \gamma . \)

На ребре \( AA_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) взята точка \( E \) так, что \( A_1 E : EA = 4 : 1 ,\) на ребре \( BB_1 \) — точка \( F \) так, что \( B_1 F : FB = 3 : 2 \), а на ребре \( B_1 C_1 \) — точка \( T \) так, что \( B_1 T : TC_1 = 3 : 1 .\) Известно, что \( AB=3 , \) \( AD = 4 , \) \( AA_1 =5 . \)

а) Докажите, что плоскость \( EFT \) проходит через вершину \( D_1 . \)

б) Найдите угол между плоскостью \( EFT \) и плоскостью \( B B_1 C_1 . \)

На ребре \( AA_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) взята точка \( E \) так, что \( A_1 E : EA = 4 : 3 ,\) на ребре \( BB_1 \) — точка \( F \) так, что \( B_1 F : FB = 2 : 5 \). Точка \( T \) — середина ребра \( B_1 C_1 .\) Известно, что \( AB=3 , \) \( AD = 4 , \) \( AA_1 =7 . \)

а) Докажите, что плоскость \( EFT \) проходит через вершину \( D_1 . \)

б) Найдите угол между плоскостью \( EFT \) и плоскостью \( B B_1 C_1 . \)

На ребре \( AA_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) взята точка \( E \) так, что \( A_1 E : EA = 2 : 1 ,\) на ребре \( BB_1 \) — точка \( F \) так, что \( B_1 F : FB = 1 : 5 \), а на ребре \( B_1 C_1 \) — точка \( T \) так, что \( B_1 T : TC_1 = 1 : 3 .\) Известно, что \( AB=5 , \) \( AD = 4 , \) \( AA_1 =6 . \)

а) Докажите, что плоскость \( EFT \) проходит через вершину \( D_1 . \)

б) Найдите угол между плоскостью \( EFT \) и плоскостью \( B B_1 C_1 . \)

На ребре \( AA_1 \) прямоугольного параллелепипеда \( ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 \) взята точка \( E \) так, что \( A_1 E : EA = 3: 2 ,\) на ребре \( BB_1 \) — точка \( F \) так, что \( B_1 F : FB = 2 : 3 \), а на ребре \( B_1 C_1 \) — точка \( T \) так, что \( B_1 T : TC_1 = 2 : 1 .\) Известно, что \( AB=4 , \) \( AD = 3 , \) \( AA_1 =5 . \)

а) Докажите, что плоскость \( EFT \) проходит через вершину \( D_1 . \)

б) Найдите угол между плоскостью \( EFT \) и плоскостью \( B B_1 C_1 . \)