В правильной треугольной призме \( ABCA_1 B_1 C_1 \) все рёбра равны \( 1 \).

а) Докажите, что прямая \( AB_1 \) параллельна прямой, проходящей через середины отрезков \( AC \) и \( BC_1 \).

б) Найдите косинус угла между прямыми \( AB_1 \) и \( BC_1 \).

Ребро \( SA \) пирамиды \( SABC \) перпендикулярно плоскости основания \( ABC .\)

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \( AB \), \( AC \) и \( SA \), отсекает от пирамиды \( SABC \) пирамиду, объём которой в \( 8 \) раз меньше объёма пирамиды \( SABC. \)

б) Найдите расстояние от вершины \( A \) до этой плоскости, если \( SA = 2 \sqrt{5} \), \( AB = AC = 10, \) \( BC = 4 \sqrt{5}. \)

В правильной четырёхугольной пирамиде \( SABCD \) с вершиной \( S \) сторона основания равна \( 8 \). Точка \( L \) – середина ребра \( SC \). Тангенс угла между прямыми \( BL \) и \( SA \) равен \( 2 \sqrt{\dfrac{2}{5}} \).

а) Пусть \( O \) – центр основания пирамиды. Докажите, что прямые \( BO \) и \( LO \) перпендикулярны.

б) Найдите площадь поверхности пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде \( SABC \) с вершиной \( S \), все рёбра которой равны \( 6 \) , точка \( M \) - середина ребра \( BC \), точка \( O \) - центр основания пирамиды, точка \( F \) делит отрезок \( SO \) в отношении \( 1:2 \), считая от вершины пирамиды.

а) Найдите отношение, в котором плоскость \( CMF \) делит отрезок \( SA \), считая от вершины \( S \).

б) Найдите угол между плоскостью \( MCF \) и плоскостью \( ABC \).

В правильной шестиугольной пирамиде \( SABCDEF \) с вершиной \( S \) боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середину рёбер \( SA \) и \( SE \) и вершину \( C \), делит ребро \( SB \) в отношении \( 1 : 3 \), считая от вершины \( B \).

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер \( SA \) и \( SE \) и вершину \( C \), делит ребро \( SF \), считая от вершины \( S \).