Основанием правильной треугольной пирамиды \( MABC \) служит треугольник \( ABC \) со стороной \( 2 \sqrt{3} \). Ребро \( MA \) перпендикулярно грани \( MBC \). Через вершину пирамиды \( M \) и середины рёбер \( AC \) и \( BC \) проведена плоскость \( \alpha \).

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите расстояние от вершины \( A \) до плоскости \( \alpha \).

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды \( SABCD \) с основанием \( ABCD \) равна \( 108 \), а площадь полной поверхности этой пирамиды равна \( 144 \).

а) Докажите, что угол между плоскостью \( SAC \) и плоскостью, проходящей через вершину \( S \) этой пирамиды, середину стороны \( AB \) и центр основания, равен \( 45^\circ\).

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью \( SAC \).

Площадь основания \( ABCD \) правильной четырёхугольной пирамиды \( SABCD \) равна \( 64 \), а площадь сечения пирамиды плоскостью \(SAC\) равна \( 32 \sqrt{3} \).

а) Докажите, что угол между плоскостью основания пирамиды и боковым ребром равен \( 60^\circ\).

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Диаметр окружности основания цилиндра равен \( 26\), образующая цилиндра равна \( 21\). Плоскость пересекает его основания по хордам длины \( 24 \) и \( 10 \). Расстояние между этими хордами равно \( \sqrt{730} \).

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Дана правильная четырёхугольная пирамида \( MABCD \) с основание \( ABCD \), стороны основания которой равны \( 5 \sqrt{2} \). Точка \(L \) — середина ребра \( MB \). Тангенс угла между прямыми \( DM \) и \( AL \) равен \( \sqrt{2} \).

а) Пусть \( O \) — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые \( AO \) и \( LO \) перпендикулярны.

б) Найдите высоту данной пирамиды.