В основании прямой призмы \( ABCA_1 B_1 C_1 \) лежит прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом \( C .\) Точка \( M \) — середина ребра \( B_1 C_1 ,\) точка \( N \) лежит на ребре \( AC ,\) причём \( AN : NC = 15 : 1 .\) Катет \( AC \) в четыре раза больше бокового ребра \( AA_1 \) призмы.

а) Докажите, что прямая \( MN \) перпендикулярна прямой \( CA_1 .\)

б) Найдите угол между прямой \( MN \) и плоскостью основания \( A_1 B_1 C_1 ,\) если \( \cos \angle CBA = \dfrac{1}{\sqrt{5}} . \)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha .\)

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите объём пирамиды \( MBKL ,\) если \( AB = 6 .\)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha .\)

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите объём пирамиды \( MCKL , \) если \( AB = 4 .\)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha \).

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите расстояние от точки \( D \) до плоскости \( \alpha \), если \( AB = 9. \)

Основанием правильной треугольной пирамиды \( MABC \) служит треугольник \( ABC \) со стороной 6. Ребро \( MA \) перпендикулярно грани \( MBC \). Через вершину пирамиды \( M \) и середины рёбер \( AC \) и \( BC \) проведена плоскость \( \alpha \).

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите расстояние от вершины \( C \) до плоскости \( \alpha \).