В правильной четырёхугольной призме $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ сторона $AB$ основания равна $5$, а боковое ребро $A{A}_1$ равно $\sqrt{5}.$ На рёбрах $BC$ и $C_1{D}_1$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно, причём $BK=C_{1}L=2.$ Плоскость $\gamma$ параллельна прямой $BD$ и содержит точки $K$ и $L.$

• а) Докажите, что прямая $A_{1}C$ перпендикулярна плоскости $\gamma .$
• б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка $A_1,$ а основание — сечение данной призмы плоскостью $\gamma .$

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ сторона основания $AB=7\sqrt{3},$ а боковое ребро $A{A}_1=8.$

а) Докажите, что плоскость $BC{A}_1$ перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро $A{A}_1$ и середину $B_1{C}_1.$

б) Найдите тангенс угла между плоскостями $BC{A}_1$ и $B{B}_1{C}_1.$

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер $SA$ и $SD$ и вершину $C$, делит апофему грани $ASB$ в отношении $2:1,$ считая от вершины.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер $SA$ и $SD$ и вершину $C,$ делит ребро $SF,$ считая от вершины $S.$

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известны длины рёбер $A{A}_1=7,$ $AB=16,$ $AD=6.$ Точка $K$ — середина ребра $C_1{D}_1.$

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку $B$ перпендикулярно прямой $AK,$ пересекает отрезок $A_{1}K.$

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью $ABC.$

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ с основанием $ABCD$ попарно перпендикулярны. Через середины $K$ и $L$ рёбер $AB$ и $AD$ соответственно и точку $M$ проведена плоскость $\alpha .$

а) Докажите, что сечение пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$ является равносторонним треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и ребром $MB.$

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ с основанием $ABCD$ попарно перпендикулярны. Через середины $K$ и $L$ рёбер $AB$ и $AD$ соответственно и точку $M$ проведена плоскость $\alpha .$

а) Докажите, что сечение пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$ является равносторонним треугольником.

б) Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $\alpha ,$ если $AB=2\sqrt{3}.$