В правильной четырёхугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) сторона \(AB\) основания равна \(5\), а боковое ребро \(AA_1\) равно \(\sqrt{5}.\) На рёбрах \(BC\) и \(C_1D_1\) отмечены точки \(K\) и \(L\) соответственно, причём \(BK=C_1L=2.\) Плоскость \(\gamma\) параллельна прямой \(BD\) и содержит точки \(K\) и \(L.\)

• а) Докажите, что прямая \(A_1C\) перпендикулярна плоскости \(\gamma .\)
• б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка \(A_1,\) а основание — сечение данной призмы плоскостью \(\gamma .\)

В правильной треугольной призме \( ABC A_1 B_1 C_1 \) сторона основания \( AB = 7 \sqrt{3} ,\) а боковое ребро \( AA_1 = 8 .\)

а) Докажите, что плоскость \( BCA_1 \) перпендикулярна плоскости, проходящей через ребро \( AA_1 \) и середину \( B_1 C_1 . \)

б) Найдите тангенс угла между плоскостями \( BCA_1 \) и \( BB_1 C_1 .\)

В правильной шестиугольной пирамиде \( SABCDEF \) с вершиной \( S \) боковое ребро вдвое больше стороны основания.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер \( SA \) и \( SD \) и вершину \( C \), делит апофему грани \( ASB \) в отношении \( 2 : 1 ,\) считая от вершины.

б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер \( SA \) и \( SD \) и вершину \( C , \) делит ребро \( SF , \) считая от вершины \( S . \)

В прямоугольном параллелепипеде \( ABCD A_1 B_1 C_1 D_1 \) известны длины рёбер \( AA_1 =7, \) \( AB =16 ,\) \( AD = 6 .\) Точка \( K \) — середина ребра \( C_1 D_1 . \)

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку \( B \) перпендикулярно прямой \( AK , \) пересекает отрезок \( A_1 K . \)

б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью \( ABC . \)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha .\)

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите угол между плоскостью \( \alpha \) и ребром \( MB .\)

Противоположные боковые грани правильной четырёхугольной пирамиды \( MABCD \) с основанием \( ABCD \) попарно перпендикулярны. Через середины \( K \) и \( L \) рёбер \( AB \) и \( AD \) соответственно и точку \( M \) проведена плоскость \( \alpha .\)

а) Докажите, что сечение пирамиды \( MABCD \) плоскостью \( \alpha \) является равносторонним треугольником.

б) Найдите расстояние от точки \( A \) до плоскости \( \alpha ,\) если \( AB = 2 \sqrt{3} .\)