В трапеции \(ABCD\) точка \(E\) — середина основания \(AD,\) точка \(K\) — середина боковой стороны \(AB.\) Отрезки \(CE\) и \(DK\) пересекаются в точке \(O.\)

• a) Докажите, что площади четырёхугольника \(AKOE\) и треугольника \(COD\) равны.
• б) Найдите отношение площади четырёхугольника \(AKOE\) к площади трапеции \(ABCD,\) если \(BC = 3,\) \(AD = 4.\)

Сумма оснований трапеции равна \(17,\) а её диагонали равны \(8\) и \(15.\)

• а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
• б) Найдите высоту трапеции.

Точки \(K\) и \(M\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно параллелограмма \(ABCD.\) Отрезки \(AM\) и \(CK\) пересекаются в точке \(P.\)

• а) Докажите, что точка \(P\) принадлежит диагонали \(BD.\)
• б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что \(AB = 17,\) \(BP = 4\) и \(BC = 25.\)

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(OP=CP.\)
• б) Найдите радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности, если расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\) равно \(24,\) \(\angle ABC = 60^\circ .\)

Точки \(P, \, Q, \, W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : BP = CQ : QB = CW : WD = 1 : 3.\) В треугольнике \(PQW\) угол \(W\) острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен \(\cfrac{5}{4}\), \(PQ = 2,\) \(QW = \cfrac{3}{2}.\)

• а) Докажите, что треугольник \(PQW\) прямоугольный.
• б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD.\)

На стороне \(BC\) роба \(ABCD\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 1 : 3.\) Через точку \(E\) перпендикулярно \(BC\) провели прямую, которая пересекает диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(R\) и \(M\) соответственно, при этом \(BR : RD = 1 : 2.\)

• а) Докажите, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(3 : 2,\) считая от вершины \(C.\)
• б) Найдите периметр ромба \(ABCD,\) если \(MR = \sqrt{15}.\)