Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(OP=CP.\)
• б) Найдите радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности, если расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\) равно \(24,\) \(\angle ABC = 60^\circ .\)

Точки \(P, \, Q, \, W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : BP = CQ : QB = CW : WD = 1 : 3.\) В треугольнике \(PQW\) угол \(W\) острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен \(\cfrac{5}{4}\), \(PQ = 2,\) \(QW = \cfrac{3}{2}.\)

• а) Докажите, что треугольник \(PQW\) прямоугольный.
• б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD.\)

На стороне \(BC\) роба \(ABCD\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 1 : 3.\) Через точку \(E\) перпендикулярно \(BC\) провели прямую, которая пересекает диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(R\) и \(M\) соответственно, при этом \(BR : RD = 1 : 2.\)

• а) Докажите, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(3 : 2,\) считая от вершины \(C.\)
• б) Найдите периметр ромба \(ABCD,\) если \(MR = \sqrt{15}.\)

На стороне \(BC\) роба \(ABCD\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 1 : 4.\) Через точку \(E\) перпендикулярно \(BC\) провели прямую, которая пересекает диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(R\) и \(M\) соответственно, при этом \(BR : RD = 1 : 3.\)

• а) Докажите, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(2 : 1,\) считая от вершины \(C.\)
• б) Найдите периметр ромба \(ABCD,\) если \(MR = 2 \sqrt{3}.\)

В трапеции \(KLMN\) с основаниями \(KN\) и \(ML\) провели биссектрисы углов \(LKN\) и \(LMN,\) которые пересеклись в точке \(P.\) через точку \(P\) параллельно прямой \(KN\) провели прямую, которая пересекла стороны \(LK\) и \(MN\) соответственно в точках \(A\) и \(B.\) При этом \(AB = KL.\)

• а) Докажите, что трапеция \(KLNM\) равнобедренная.
• б) Найдите \(\cos \angle LKN,\) если \(KP : PM = 4 : 3,\) \(AP : PB = 3 : 2.\)

В трапеции \(KLMN\) с основаниями \(KN\) и \(ML\) провели биссектрисы углов \(LKN\) и \(LMN,\) которые пересеклись в точке \(P.\) через точку \(P\) параллельно прямой \(KN\) провели прямую, которая пересекла стороны \(LK\) и \(MN\) соответственно в точках \(A\) и \(B.\) При этом \(AB = KL.\)

• а) Докажите, что трапеция \(KLNM\) равнобедренная.
• б) Найдите \(\cos \angle LKN,\) если \(KP : PM = 2 : 3,\) \(AP : PB = 1 : 2.\)