Точки \(P, \, Q, \, W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : BP = CQ : QB = CW : WD = 1 : 3.\) В треугольнике \(PQW\) угол \(W\) острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен \(\cfrac{5}{4}\), \(PQ = 2,\) \(QW = \cfrac{3}{2}.\)

• а) Докажите, что треугольник \(PQW\) прямоугольный.
• б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD.\)

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(BAD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K,\) а продолжение стороны \(CD\) — в точке \(P;\) диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(KAD.\)

• а) Докажите, что \(PC^2 = CD \cdot PK.\)
• б) Найдите \(AC : AP,\) если \(BC : AB = 2{,}5.\)

В параллелограмме \(ABCD\) с острым углом \(BAD\) точка \(E\) — середина стороны \(BC.\) Через точку \(B\) перпендикулярно прямой \(AB\) и через точку \(E\) перпендикулярно прямой \(DE\) проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке \(K.\)

1. а) Докажите, что \(AK = KD.\)
2. б) Найдите угол \(ADE,\) если расстояние от точки \(K\) до прямой \(AD\) равно длине отрезка \(EC\) и \(\angle ADC = 110^\circ .\)

В параллелограмме \(ABCD\) с острым углом \(BAD\) точка \(E\) — середина стороны \(BC.\) Через точку \(B\) перпендикулярно прямой \(AB\) и через точку \(E\) перпендикулярно прямой \(DE\) проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке \(K.\)

1. а) Докажите, что \(AK = KD.\)
2. б) Найдите угол \(BAD,\) если расстояние от точки \(K\) до прямой \(AD\) равно длине отрезка \(EC\) и \(\angle CED = 58^\circ .\)

Окружность с центром в точке \(O\) вписана в ромб \(ABCD\) и касается его сторон \(AB\), \(CD\) и \(AD\) соответственно в точках \(F\), \(K\) и \(P\).

а) Докажите, что прямая \(FP\) параллельна диагонали ромба \(BD\).
б) Найдите площадь ромба \(ABCD\), если известно, что \(FP=6\) и \(PK=8.\)

Окружность с центром в точке \(O\) вписана в ромб \(ABCD\) и касается его сторон \(AB\), \(CD\) и \(AD\) соответственно в точках \(F\), \(K\) и \(P\).

а) Докажите, что прямая \(FP\) параллельна диагонали ромба \(BD\).
б) Найдите длину диагонали \(BD\), если известно, что \(FP=12\) и \(PK=5.\)