Окружность с центром в точке \(O\) вписана в ромб \(ABCD\) и касается его сторон \(AB\), \(CD\) и \(AD\) соответственно в точках \(F\), \(K\) и \(P\).

а) Докажите, что прямая \(FP\) параллельна диагонали ромба \(BD\).
б) Найдите длину диагонали \(BD\), если известно, что \(FP=12\) и \(PK=5.\)

Окружность с центром \( O \), вписанная в прямоугольный треугольник \( ABC \), касается гипотенузы \( AB \) в точке \( M \), а катета \( AC \) — в точке \( N \), \( AC < BC\). Прямые \( MN \) и \( CO \) пересекаются в точке \( K \).

а) Докажите, что угол \( CKN \) в два раза меньше угла \( ABC \).

б) Найдите \( BK \), если \( BC = 3 \sqrt{2} \).

Окружность с центром \( O \), вписанная в прямоугольный треугольник \( ABC \), касается гипотенузы \( AB \) в точке \( M \), а катета \( AC \) — в точке \( N \), \( AC < BC\). Прямые \( MN \) и \( CO \) пересекаются в точке \( K \).

а) Докажите, что угол \( CKN \) в два раза меньше угла \( ABC \).

б) Найдите \( BK \), если \( BC = 5 \sqrt{2} \).

Точки \( B_1 \) и \( C_1 \) лежат на сторонах соответственно \( AC \) и \( AB \) треугольника \( ABC, \) причём \( AB_1 : B_1 C = AC_1 : C_1 B . \) Прямые \( BB_1 \) и \( CC_1 \) пересекаются в точке \( O. \)

а) Докажите, что прямая \( AO \) делит пополам сторону \( BC. \)

б) Найдите отношение площади четырёхугольника \( AB_1OC_1 \) к площади треугольника \( ABC, \) если известно, что \( AB_1 : B_1 C = AC_1 : C_1 B = 1 : 3.\)

На отрезке \( BD \) взята точка \( C \). Биссектриса \( BL \) равнобедренного треугольника \( ABC \) с основанием \( BC \) является боковой стороной равнобедренного треугольника \( BLD \) с основанием \( BD \).

а) Докажите, что треугольник \( DCL \) равнобедренный.

б) Известно, что \( \cos \angle ABC = \dfrac{3}{4} \). В каком отношении прямая \( DL \) делит сторону \( AB \)?