В треугольнике \(ABC\) точки \(N\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезок \(NP\) касается окружности, вписанной в треугольник \(ABC.\)

• а) Докажите, что периметр треугольника \(ABC\) равен \(4AC.\)
• б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если его периметр равен \(24,\) \(\angle BAC =60^\circ .\)

В треугольнике \(ABC\) точки \(N\) и \(P\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно. Отрезок \(NP\) касается окружности, вписанной в треугольник \(ABC.\)

• а) Докажите, что периметр треугольника \(ABC\) равен \(4AC.\)
• б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если его периметр равен \(28,\) \(\angle BAC =120^\circ .\)

В параллелограмме \(ABCD\) биссектриса угла \(BAD\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(K,\) а продолжение стороны \(CD\) — в точке \(P;\) диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(KAD.\)

• а) Докажите, что \(PC^2 = CD \cdot PK.\)
• б) Найдите \(AC : AP,\) если \(BC : AB = 2{,}5.\)

В параллелограмме \(ABCD\) с острым углом \(BAD\) точка \(E\) — середина стороны \(BC.\) Через точку \(B\) перпендикулярно прямой \(AB\) и через точку \(E\) перпендикулярно прямой \(DE\) проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке \(K.\)

1. а) Докажите, что \(AK = KD.\)
2. б) Найдите угол \(ADE,\) если расстояние от точки \(K\) до прямой \(AD\) равно длине отрезка \(EC\) и \(\angle ADC = 110^\circ .\)

В параллелограмме \(ABCD\) с острым углом \(BAD\) точка \(E\) — середина стороны \(BC.\) Через точку \(B\) перпендикулярно прямой \(AB\) и через точку \(E\) перпендикулярно прямой \(DE\) проведены соответственно две прямые, которые пересекаются в точке \(K.\)

1. а) Докажите, что \(AK = KD.\)
2. б) Найдите угол \(BAD,\) если расстояние от точки \(K\) до прямой \(AD\) равно длине отрезка \(EC\) и \(\angle CED = 58^\circ .\)

Окружность с центром в точке \(O\) вписана в ромб \(ABCD\) и касается его сторон \(AB\), \(CD\) и \(AD\) соответственно в точках \(F\), \(K\) и \(P\).

а) Докажите, что прямая \(FP\) параллельна диагонали ромба \(BD\).
б) Найдите площадь ромба \(ABCD\), если известно, что \(FP=6\) и \(PK=8.\)