В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) вписана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R.\) К этой окружности параллельно прямой \(AB\) проведена касательная, которая пересекает стороны \(BC\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. В треугольник \(CDE\) вписана окружность с центром в точке \(O_1\) и радиусом \(r.\) Прямые \(OO_1\) и \(AB\) пересекаются в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(AP : PB = \cos \angle ACB .\)
• б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если \(R = 5, \, r = 3.\)

В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) вписана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R.\) К этой окружности параллельно прямой \(AB\) проведена касательная, которая пересекает стороны \(BC\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. В треугольник \(CDE\) вписана окружность с центром в точке \(O_1\) и радиусом \(r.\) Прямые \(OO_1\) и \(AB\) пересекаются в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(AP : PB = \cos \angle ACB .\)
• б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если \(R = 6, \, r = 4.\)

Прямая, перпендикулярная стороне \(BC\) ромба \(ABCD,\) пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(K,\) а диагональ \(BD\) — в точке \(L,\) причём \(AK : KC = 1 : 3,\) \(BL : LD = 2 : 1.\)

• а) Докажите, что прямая \(KL\) делит сторону ромба \(AB\) в отношении \(1 : 4.\)
• б) Найдите сторону ромба, если \(KL = 6.\)

Прямая, перпендикулярная стороне \(BC\) ромба \(ABCD,\) пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M,\) а диагональ \(BD\) — в точке \(N,\) причём \(AM : MC = 1 : 2,\) \(BN : ND = 1 : 3.\)

• а) Докажите, что прямая \(MN\) делит сторону ромба \(BC\) в отношении \(1 : 4.\)
• б) Найдите сторону ромба, если \(MN = \sqrt{12}.\)

В квадрате \(ABCD\) на диагонали \(BD\) и на сторонах \(AB\) и \(BC\) отметили соответственно точки \(P,\) \(E\) и \(F\) такие, что \(BE = BF,\) а прямая, проходящая через точку \(P\) параллельно прямой \(AC,\) отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника \(EBPF\) и в три раза меньше площади квадрата.

• а) Докажите, что если \(BP \cdot BE = \sqrt{2},\) то \(AB = \sqrt{3}.\)
• б) Найдите отношение площадей треугольников \(EPF\) и \(EBF.\)

В квадрате \(ABCD\) на диагонали \(BD\) и на сторонах \(AB\) и \(BC\) отметили соответственно точки \(P,\) \(E\) и \(F\) такие, что \(BE = BF,\) а прямая, проходящая через точку \(P\) параллельно прямой \(AC,\) отсекает от квадрата треугольник, площадь которого равна площади четырёхугольника \(EBPF\) и в четыре раза меньше площади квадрата.

• а) Докажите, что если \(BP \cdot BE = \sqrt{2},\) то \(AB = 2.\)
• б) Найдите отношение площадей треугольников \(EPF\) и \(EBF.\)