В параллелограмме \(ABCD\) угол \(BAC\) вдвое больше угла \(CAD.\) Биссектриса угла \(BAC\) пересекает отрезок \(BC\) в точке \(L.\) На продолжении стороны \(CD\) за точку \(D\) выбрана такая точка \(E,\) что \(AE = CE.\)

• а) Докажите, что \(AL \cdot BC = AB \cdot AC .\)
• б) Найдите длину отрезка \(EL,\) если \(AC = 10,\) \(\mathrm{tg} \, \angle BCA = \cfrac{1}{5}.\)

Прямая, перпендикулярная стороне \(AD\) ромба \(ABCD,\) пересекает его диагональ \(AC\) в точке \(M,\) а диагональ \(BD\) — в точке \(N.\) При этом \(AM : MC = 1 : 2,\) \(BN : ND = 1 : 3.\)

• а) Докажите, что \(\cos \angle BAD = \cfrac{1}{5}.\)
• б) Найдите площадь ромба, если \(MN = 5 \sqrt{2}.\)

Окружность, вписанная в квадрат \(ABCD,\) касается его стороны \(AB\) в точке \(K,\) а стороны \(AD\) в точке \(E.\) Отрезки \(CK\) и \(CE\) пересекают окружность в точках \(M\) и \(P\) соответственно.

• а) Докажите, что прямые \(EK\) и \(MP\) параллельны.
• б) Найдите \(ME,\) если сторона квадрата равна \(10.\)

В треугольнике \(ABC\) все стороны различны. Прямая, содержащая высоту \(BH\) треугольника \(ABC,\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(K.\) Отрезок \(BN\) — диаметр этой окружности.

• а) Докажите, что прямые \(AC\) и \(KN\) параллельны.
• б) Найдите расстояние от точки \(N\) до прямой \(AC,\) если радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности равен \(10 \sqrt{6},\) \(\angle BAC = 30^\circ ,\) \(\angle ABC = 105^\circ .\)

Биссектрисы углов \(BAD\) и \(BCD\) равнобедренной трапеции \(ABCD\) пересекаются в точке \(O.\) Через точку \(O\) провели прямую, параллельную основаниям \(BC\) и \(AD,\) и пересекающую боковые стороны \(AB\) и \(CD\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.

• а) Докажите, что отрезок этой прямой внутри трапеции равен её боковой стороне.
• б) Найдите длину основания \(AD,\) если \(AO = CO,\) \(BC = 31\) и данная прямая делит сторону \(AB\) в отношении \(AM : MB = 4 : 5.\)

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) боковая сторона \(AB\) равна \(a,\) а основание \(AD = c\) больше основания \(BC=b.\) Построена окружность, касающаяся сторон \(AB,\) \(CD\) и \(AD.\)

• а) Докажите, что если \(b + c > 2a,\) то окружность пересекает сторону \(BC\) в двух точках.
• б) Найдите длину той части отрезка \(BC,\) которая находится внутри окружности, если \(c = 12,\) \(b = 10,\) \(a = 8.\)