Найдите все значения \( a \), при каждом из которых модуль разности корней уравнения $$ x^2 - 6x + 12 + a^2 - 4a = 0 $$ принимает наибольшее значение.

Найдите все значения \( a \), при каждом из которых система $$ \begin{cases} \left| x^2 - x - 6 \right| = (y-1)^2 + x - 7, \\ 3y = 2x + a \end{cases} $$ имеет ровно один или два корня.

Найдите все неотрицательные значения \( a \), при каждом из которых множество решений неравенства $$ 1 \leqslant \frac{2a + x^2 - 4 \log_{1/3} (4a^2 - 4a + 9 ) }{5 \sqrt{18 x^4 + 7 x^2} + 2a + 4 + \log^2_{1/3} (4a^2 - 4a + 9)} $$состоит из одной точки, и найдите это решение.

Найдите все значения \( k \), при каждом из которых уравнение $$ \frac{1 + \left( 2 - 2k \right) \sin t}{\cos t - \sin t} = 2k $$ имеет хотя бы одно решение на интервале \( \left( 0 ; \, \dfrac{\pi}{2} \right) \).