Окружность с центром \(O\) касается боковых сторон \(AB\) и \(BC\) равнобедренного остроугольного треугольника \(ABC\) и его высоты \(CH.\)

• а) Докажите, что \(\angle OAC = 45^\circ .\)
• б) Найдите длину отрезка \(BC,\) если \(BO = 1\) и \(AC = 6.\)

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена высота \(CH.\) На гипотенузе \(AB\) взята точка \(P\) так, что \(AH = BP.\) Через точку \(P\) проведён перпендикуляр к прямой \(AB,\) пересекающий описанную около треугольника \(ABC\) окружность в точках \(Q\) и \(T,\) причём точка \(Q\) лежит с точкой \(C\) по одну сторону от прямой \(AB.\)

• а) Докажите, что четырёхугольник \(ACQB\) — равнобедренная трапеция.
• б) Найдите \(QT,\) если \(CQ = 5\) и \(AB = 13.\)

Дан равнобедренный треугольник \(ABC.\) окружность с центром \(O\) на основании \(BC\) касается боковых сторон \(AB\) и \(AC.\) Касательная к этой окружности пересекает стороны \(AB\) и \(AC\) в точках \(M\) и \(N\) соответственно.

• а) Докажите, что отезки \(OM\) и \(ON\) разбивают четырёхугольник \(BMNC\) на три подобных треугольника.
• б) Найдите длину отрезка \(AM,\) если треугольник \(ABC\) равносторонний, \(AB = 12\) и \(AN : NC = 1 : 2.\)

В тупоугольном треугольнике \(ABC\) угол \(C\) тупой. Точка \(P\) лежит вне треугольника \(ABC.\) \(BP\) и \(CP\) — перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) соответственно, причём \(CP\) пересекает сторону \(AB.\) Высота \(CH\) треугольника \(ACP\) пересекает отрезок \(AB\) в точке \(K.\)

• а) Докажите, что острые углы \(ABC\) и \(ACH\) равны.
• б) Найдите длину стороны \(AC,\) если \(AK = 6,\) \(BK = 18.\)

Окружность проходит через вершины \(B\) и \(C\) прямоугольного треугольника \(ABC\) и пересекает катет \(AC\) в точке \(K,\) гипотенузу \(AB\) — в точке \(M.\)

• а) Докажите, что треугольники \(AKM\) и \(ABC\) подобны.
• б) Найдите площадь четырёхугольника \(CKMB,\) если радиус окружности равен \(\sqrt{29},\) катеты \(AC\) и \(BC\) равны \(12\) и \(4\) соответственно.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины гипотенузы \(AB\) и катета \(BC\) соответственно. Биссектриса угла \(BAC\) пересекает прямую \(MN\) в точке \(L.\)

• а) Докажите, что треугольники \(AML\) и \(BLC\) подобны.
• б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если \(\cos \angle BAC = \cfrac{7}{25}.\)