В треугольнике \(ABC\) со сторонами \(AB = 6 \sqrt{2},\) \(AC = 2 \sqrt{15}\) и \(BC = 6\) на стороне \(BC\) отметили точку \(D\) так, что \(BD : DC = 2 : 1.\)

• а) Докажите, что \(AD\) — высота треугольника \(ABC.\)
• б) На луче \(BC\) отметили точку \(E\) такую, что \(AC\) — биссектриса треугольника \(BAE.\) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(BAE.\)

В треугольнике \(ABC\) со сторонами \(AB = 6\sqrt{5},\) \(AC = 8 \sqrt{5}\) и \(BC = 6\) на стороне \(BC\) отметили точку \(D\) так, что \(BD : DC = 1 : 2.\)

• а) Докажите, что \(AD\) — высота треугольника \(ABC.\)
• б) На луче \(BC\) отметили точку \(E\) такую, что \(AC\) — биссектриса треугольника \(BAE.\) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник \(BAE.\)

Окружность с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) вписана в угол с вершиной в точке \(B,\) равный \(120^\circ .\) Точки \(A\) и \(C\) — точки касания угла и окружности, а \(AE\) и \(CD\) — диаметры окружности.

• а) Докажите, что \(AD = 3BC.\)
• б) Прямые \(BD\) и \(BE\) вторично пересекают окружность в точках \(N\) и \(P\) соответственно. Найдите \(PN,\) если \(R = 13.\)

Окружность с центром в точке \(O\) радиуса \(R\) вписана в угол с вершиной в точке \(B,\) равный \(60^\circ .\)Точки \(A\) и \(C\) — точки касания угла и окружности, а \(AE\) и \(CD\) — диаметры окружности.

• а) Докажите, что \(AB = DE.\)
• б) Прямые \(BD\) и \(BE\) вторично пересекают окружность в точках \(N\) и \(P\) соответственно. Найдите площадь четырёхугольника \(DEPN,\) если \(R = 7 \sqrt{3} .\)

В равнобедренную трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(AD\) вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон \(AB,\) \(BC\) и \(AD,\) вторая — сторон \(BC,\) \(CD\) и \(AD,\) а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны \(CD\) с одной из окружностей радиуса \(r\) делит сторону \(CD\) в отношении \(1 : 9.\)

• а) Докажите, что \(r = 0{,}3 \cdot CD.\)
• б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции \(ABCD,\) если \(AB = 20.\)

В равнобедренную трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(AD\) вписаны две окружности так, что одна из них касается сторон \(AB,\) \(BC\) и \(AD,\) вторая — сторон \(BC,\) \(CD\) и \(AD,\) а сами они касаются друг друга внешним образом. Точка касания стороны \(CD\) с одной из окружностей радиуса \(r\) делит сторону \(CD\) в отношении \(1 : 4.\)

• а) Докажите, что \(r = 0{,}4 \cdot CD.\)
• б) Найдите радиус окружности, описанной около трапеции \(ABCD,\) если \(AB = 30.\)