На стороне \(BC\) ромба \(ABCD\) отметили точку \(M\) такую, что \(BM : MC = 2 : 3,\) \(DB = DM.\)

• а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен \(0{,}8.\)
• б) На луче \(BH,\) где \(BH\) — высота треугольника \(BDM,\) отметили такую точку \(P,\) что около четырёхугольника \(ABPD\) можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если \(AB = \sqrt{10}.\)

Точка \(M\) — середина стороны \(BC\) ромба \(ABCD,\) \(DB = DM.\)

• а) Докажите, что косинус острого угла ромба равен \(0{,}75.\)
• б) На луче \(BH,\) где \(BH\) — высота треугольника \(BDM,\) отметили такую точку \(P,\) что в четырёхугольник \(ABPD\) можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если \(AB = 4.\)

В прямоугольную трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(CD\) и прямыми углами \(A\) и \(D\) вписана окружность с центром в точке \(O\) радиуса \(R.\) Точка \(G\) — точка касания данной окружности и стороны \(AB\) трапеции \(ABCD.\) Биссектриса угла \(ADC\) перпендикулярна стороне \(BC\) и пересекает её в точке \(N.\)

• а) Докажите, что \(BG = \left( \sqrt{2} - 1 \right) R.\)
• б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольника \(BNOG,\) если \(R = 6.\)

В прямоугольную трапецию \(ABCD\) с большим основанием \(CD\) и прямыми углами \(A\) и \(D\) вписана окружность с центром в точке \(O\) радиуса \(R.\) Точка \(G\) — точка касания данной окружности и стороны \(AB\) трапеции \(ABCD.\) Биссектриса угла \(ADC\) перпендикулярна стороне \(BC\) и пересекает её в точке \(N.\)

• а) Докажите, что \(BN = \left( \sqrt{2} - 1 \right) R.\)
• б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырёхугольник \(BNOG,\) если \(R = 6.\)

Дан остроугольный треугольник \(ABC.\) Известно, что \(\angle BAC = 2 \angle ABC.\) Точка \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC.\) Вокруг треугольника \(AOC\) описана окружность, которая пересекает сторону \(BC\) в точке \(P.\)

• а) Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(PAC\) подобны.
• б) Найдите \(AB,\) если \(BC = 6\) и \(AC = 4.\)

В трапеции \(ABCD\) точка \(E\) — середина основания \(AD,\) точка \(K\) — середина боковой стороны \(AB.\) Отрезки \(CE\) и \(DK\) пересекаются в точке \(O.\)

• a) Докажите, что площади четырёхугольника \(AKOE\) и треугольника \(COD\) равны.
• б) Найдите отношение площади четырёхугольника \(AKOE\) к площади трапеции \(ABCD,\) если \(BC = 3,\) \(AD = 4.\)