Сумма оснований трапеции равна \(17,\) а её диагонали равны \(8\) и \(15.\)

• а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
• б) Найдите высоту трапеции.

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Диагонали \(AD\) и \(BE\) пересекаются в точке \(M.\) Известно, что \(BCDM\) — параллелограмм.

• а) Докажите, что \(BC = DE.\)
• б) Найдите длину стороны \(AB,\) если известно, что \(DE = 9,\) \(AD = 13,\) \(BE = 15\) и \(AB > BC.\)

Пятиугольник \(ABCDE\) вписан в окружность. Известно, что \(AB = CD = 3,\) \(BC = DE = 4.\)

а) Докажите, что \(AC=CE.\)
• б) Найдите длину диагонали \(BE,\) если \(AD = 6.\)

Точки \(K\) и \(M\) — середины сторон \(AB\) и \(BC\) соответственно параллелограмма \(ABCD.\) Отрезки \(AM\) и \(CK\) пересекаются в точке \(P.\)

• а) Докажите, что точка \(P\) принадлежит диагонали \(BD.\)
• б) Найдите площадь параллелограмма, если известно, что \(AB = 17,\) \(BP = 4\) и \(BC = 25.\)

Точка \(O\) — центр вписанной в треугольник \(ABC\) окружности. Прямая \(BO\) вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(OP=CP.\)
• б) Найдите радиус описанной около треугольника \(ABC\) окружности, если расстояние от точки \(P\) до прямой \(AC\) равно \(24,\) \(\angle ABC = 60^\circ .\)

Точки \(P, \, Q, \, W\) делят стороны выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) в отношении \(AP : BP = CQ : QB = CW : WD = 1 : 3.\) В треугольнике \(PQW\) угол \(W\) острый, при этом радиус описанной около этого треугольника окружности равен \(\cfrac{5}{4}\), \(PQ = 2,\) \(QW = \cfrac{3}{2}.\)

• а) Докажите, что треугольник \(PQW\) прямоугольный.
• б) Найдите площадь четырёхугольника \(ABCD.\)