На стороне \(BC\) роба \(ABCD\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 1 : 3.\) Через точку \(E\) перпендикулярно \(BC\) провели прямую, которая пересекает диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(R\) и \(M\) соответственно, при этом \(BR : RD = 1 : 2.\)

• а) Докажите, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(3 : 2,\) считая от вершины \(C.\)
• б) Найдите периметр ромба \(ABCD,\) если \(MR = \sqrt{15}.\)

На стороне \(BC\) роба \(ABCD\) отметили точку \(E\) так, что \(BE : EC = 1 : 4.\) Через точку \(E\) перпендикулярно \(BC\) провели прямую, которая пересекает диагонали \(BD\) и \(AC\) в точках \(R\) и \(M\) соответственно, при этом \(BR : RD = 1 : 3.\)

• а) Докажите, что точка \(M\) делит отрезок \(AC\) в отношении \(2 : 1,\) считая от вершины \(C.\)
• б) Найдите периметр ромба \(ABCD,\) если \(MR = 2 \sqrt{3}.\)

В трапеции \(KLMN\) с основаниями \(KN\) и \(ML\) провели биссектрисы углов \(LKN\) и \(LMN,\) которые пересеклись в точке \(P.\) через точку \(P\) параллельно прямой \(KN\) провели прямую, которая пересекла стороны \(LK\) и \(MN\) соответственно в точках \(A\) и \(B.\) При этом \(AB = KL.\)

• а) Докажите, что трапеция \(KLNM\) равнобедренная.
• б) Найдите \(\cos \angle LKN,\) если \(KP : PM = 4 : 3,\) \(AP : PB = 3 : 2.\)

В трапеции \(KLMN\) с основаниями \(KN\) и \(ML\) провели биссектрисы углов \(LKN\) и \(LMN,\) которые пересеклись в точке \(P.\) через точку \(P\) параллельно прямой \(KN\) провели прямую, которая пересекла стороны \(LK\) и \(MN\) соответственно в точках \(A\) и \(B.\) При этом \(AB = KL.\)

• а) Докажите, что трапеция \(KLNM\) равнобедренная.
• б) Найдите \(\cos \angle LKN,\) если \(KP : PM = 2 : 3,\) \(AP : PB = 1 : 2.\)

В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) вписана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R.\) К этой окружности параллельно прямой \(AB\) проведена касательная, которая пересекает стороны \(BC\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. В треугольник \(CDE\) вписана окружность с центром в точке \(O_1\) и радиусом \(r.\) Прямые \(OO_1\) и \(AB\) пересекаются в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(AP : PB = \cos \angle ACB .\)
• б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если \(R = 5, \, r = 3.\)

В прямоугольный треугольник \(ABC\) с прямым углом \(A\) вписана окружность с центром в точке \(O\) и радиусом \(R.\) К этой окружности параллельно прямой \(AB\) проведена касательная, которая пересекает стороны \(BC\) и \(AC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. В треугольник \(CDE\) вписана окружность с центром в точке \(O_1\) и радиусом \(r.\) Прямые \(OO_1\) и \(AB\) пересекаются в точке \(P.\)

• а) Докажите, что \(AP : PB = \cos \angle ACB .\)
• б) Найдите площадь треугольника \(ABC,\) если \(R = 6, \, r = 4.\)