Задания 19-21. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 30.11.2024

Просмотры: 648
Изменено: 1 февраля 2025

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый делает Петя. За один ход может: убрать из кучи три камня или убрать из кучи пять камней или уменьшить количество камней в куче в три раза (количество камней, полученное при делении, округляется до большего). Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(17\), \(15\) или \(7\) камней. Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(33.\)

Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет \(33\) или меньше камней. В начальный момент времени в куче было \(S\) камней, \(S \geqslant 34.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. При каких значениях \(S\) Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом? В ответе укажите одно число — количество таких значений.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S\), при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

  • Петя не может выиграть за один ход;
  • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S\), при котором одновременно выполняются два условия:

  • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
  • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение:

Python


from math import ceil

def moves(h):
    return h - 3, h - 5, ceil( h / 3)

stones = [None] * 400

MIN_SIZE = 34
for i in range(34, 400):
    if any(x < MIN_SIZE for x in moves(i)):
        stones[i] = 'P1'
print('Решение 19 задачи')
z19 = []
for i in range(34, 400):
    if not stones[i] and all(stones[x] == 'P1' for x in moves(i)):
        stones[i] = 'V1'
        # print(i)
        z19.append(i)
print(len(z19))
print('Решение 20 задачи')
z20 = []
for i in range(34, 400):
    if not stones[i] and any(stones[x] == 'V1' for x in moves(i)):
        stones[i] = 'P2'
        #print(i)
        z20.append(i)
print(min(z20), max(z20))
print('Решение 21 задачи')
z21 = []
for i in range(34, 400):
    if not stones[i] and any(stones[x] == 'P1' or stones[x] == 'P2' for x in moves(i)):
        stones[i] = 'V2'
        #print(i)
        z21.append(i)
print(min(z21))

Ответ:
\(3\)
\( 103 \,\, 306\)
\(108\)