19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) \(4\) камня;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в \(2\) раза.

Например, пусть в одной куче \(20\) камней, а в другой \(30\) камней; такую позицию в игре обозначим \((20,~30).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((24,~30), \, (20,~34), \, (40,~30), \, (20,~60).\)

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(133.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно \(133\) камня или больше. В начальный момент в первой куче было \(17\) камней, во второй куче – \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 115.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из одной из куч (по своему выбору) \(2\) камня;
• уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в \(З\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, пусть в одной куче \(20\) камней, в другой \(30\) камней; такую позицию в игре обозначим \((20,~30).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((18,~30), \, (20,~28), \, (6,~30), \, (20,~10).\)

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более \(47.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно \(47\) камней или меньше. В начальный момент в первой куче было \(16\) камней, во второй куче \(S\) камней; \(S \geqslant 32.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из одной из куч (по своему выбору) \(3\) камня;
• уменьшить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в \(З\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, пусть в одной куче \(20\) камней, в другой \(30\) камней; такую позицию в игре обозначим \((20,~30).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((17,~30), \, (20,~27), \, (6,~30), \, (20,~10).\)

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не более \(53.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно \(53\) камня или меньше. В начальный момент в первой куче было \(19\) камней, во второй куче \(S\) камней; \(S \geqslant 35.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) \(1\) камень;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в \(2\) раза.

Например, пусть в одной куче \(20\) камней, а в другой \(30\) камней; такую позицию в игре обозначим \((20, \, 30).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((21, \, 30), \, (20, \, 31), \, (40, \, 30), \, (20, \, 60).\)

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(171.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно \(171\) камень или больше. В начальный момент в первой куче было \(25\) камней, во второй куче ~ \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 145.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее и наибольшее значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• добавить в одну из куч (по своему выбору) \(1\) камень;
• увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в \(3\) раза.

Например, пусть в одной куче \(20\) камней, а в другой \(30\) камней; такую позицию в игре обозначим \((20,~30).\) Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: \((21,~30), \, (20,~31), \, (60,~30), \, (20,~90).\)

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее \(155.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно \(155\) камней или больше. В начальный момент в первой куче было \(15\) камней, во второй куче – \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 139.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

19

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:

• убрать из кучи \(3\) камня;
• убрать из кучи \(7\) камней;
• уменьшить количество камней в куче в \(4\) раза (количество камней, полученное при делении, округляется до меньшего).

Например, из кучи в \(20\) камней за один ход можно получить кучу из \(17, \, 13\) или \(5\) камней.

Игра завершается, когда количество камней в куче становится не более \(15.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу из \(15\) или менее камней. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(S > 15.\)

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

• Петя не может выиграть за один ход;
• Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

• у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
• у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.