Задание 14. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7674
- Просмотры: 720
- Изменено: 25 ноября 2024
(К. Багдасарян) Значение арифметического выражения \(7^{100} + 7^{30} - x\), где \(x\) – натуральное число, меньшее, чем \(7^{20}\), записали в системе счисления с основанием \(7\). Определите наибольшее количество нулей, которое может содержать семиричная запись значения данного арифметического выражения.
Решение:
Число \(7^{100} + 7^{30}\), записанное в семиричной системе счисления, имеет вид $$ 1 \underbrace{0 \ldots 0}_{69} 1 \underbrace{0 \ldots 0}_{30} $$ Число, меньшее \(7^{20}\), в семиричной системе счисления имеет не более \(20\) цифр. Понятно, что \(69\) нулей в старших разрядах останутся после вычитания такого числа из исходного. Поэтому нужно сохранить как можно больше нулей в младших разрядах. Этого можно добиться, выбрав \(x\) в виде \(a \underbrace{0 \ldots 0}_{19}\), где \(a\) натуральное число от \(1\) до \(6\). Наконец, после вычитания \(x\) из исходного числа, появится ещё одни ноль в \(31\) разряде вместо \(1\). Т.о., общее количество нулей будет \(69 + 1 + 19 = 89\).
Ответ: \(89\)