Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7242
- Просмотры: 87
- Изменено: 24 ноября 2024
*Обозначим через \(a \, \% \, b\) остаток от деления натурального числа \(a\) на натуральное число \(b\), а через \(a \, // \, b\) – целую часть от деления \(a\) на \(b\). Алгоритм вычисления значения функции \(F(n)\), где \(n\) – натуральное число, задан следующими соотношениями:
\(F(n) = 0\), если \(n = 0\),
\(F(n) = F(n \, // \, 10) + n \, \% \, 10\), если \(n > 0\) и \(n\) нечётно;
\(F(n) = F(n \, // \, 10)\), если \(n > 0\) и \(n\) чётно.
Определите количество значений \(n\), таких что \(10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9\), для которых \(F(n) = 1\).
Решение:
Значение функции \(F(n)\) равно \(1\) для чисел, в записи которых имеется ровно одна цифра \(1\), а остальные чётные. Все числа из условия задачи десятизначные. Имеется два варианта чисел, удовлетворяющих условию задачи. Первый вариант: число начинается на \(1\). Тогда на оставшихся девяти позициях должны стоять только чётные цифры. Получаем всего \(5^9\) вариантов таких чисел. Второй вариант: число начинается с чётной цифры. Это не может быть \(0\), но это не может быть и \(6\), т.к. единственное число, начинающееся на \(6\) — \(6~000~000~000\) не подходит нам, так как в его записи нет \(1\). Поэтому имеем только два варианта: это либо \(2\), либо \(4\). На оставшихся позициях должна находится ровно одна \(1\). Остальные цифры — чётные. Получаем \(2 \cdot 9 \cdot 5^8\) вариантов. Итого \(5^9 + 2 \cdot 9 \cdot 5^8\) вариантов.
Ответ: \(8984375\)