Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7246
- Просмотры: 67
- Изменено: 24 ноября 2024
*Обозначим через \(a \, \% \, b\) остаток от деления натурального числа \(a\) на натуральное число \(b\), а через \(a \, // \, b\) – целую часть от деления \(a\) на \(b\). Алгоритм вычисления значения функции \(F(n)\), где \(n\) – натуральное число, задан следующими соотношениями:
\(F(n) = 0\), если \(n = 0\),
\(F(n) = F(n \, // \, 8) + n \, \% \, 8\), если \(n > 0\) и \(n\) нечётно;
\(F(n) = F(n \, // \, 8)\), если \(n > 0\) и \(n\) чётно.
Определите количество значений \(n\), таких что \(8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}\), для которых \(F(n) = 1\).
Решение:
Будем рассматривать числа в \(8\)-ричной системе счисления. Тогда \(8^9 = 1~000~000~000_8\) и \(8^{10} = 10~000~000~000_8\). Значение функции \(F(n)\) равно \(1\), если в записи числа присутствует одна цифра \(1\), а все остальные — четные (в \(8\)-ричной системе счисления это цифры \(0\), \(2\), \(4\), \(6\)). Заметим, что права граница нашего диапазона чисел \(8^{10} = 10~000~000~000_8\) удовлетворяет этому условию. Далее, все остальные числа — десятизначные. Посчитаем количество таких чисел. Здесь возможны два случая. Первый — первая цифра \(1\). Тогда на оставшихся девяти позициях могут располагаться только чётные цифры, которых у нас \(4\). Т.о., для этого случая количество вариантов будет \(4^9\). Второй случай — на первой позиции стоят чётные цифры. Так как \(0\) не может находиться на этой позиции, мы имеем только три альтернативы. Среди оставшихся девяти цифр одна обязательно должна быть \(1\), а все остальные — чётные. Значит, имеется ещё \(3 \cdot 9 \cdot 4^8\) вариантов. Итого \(1 + 4^9 + 3 \cdot 9 \cdot 4^8\) вариантов.
Ответ: \(2031617\)