Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7247
- Просмотры: 68
- Изменено: 24 ноября 2024
*Обозначим через \(a \, \% \, b\) остаток от деления натурального числа \(a\) на натуральное число \(b\), а через \(a \, // \, b\) – целую часть от деления \(a\) на \(b\). Алгоритм вычисления значения функции \(F(n)\), где \(n\) – натуральное число, задан следующими соотношениями:
\(F(n) = 1\), если \(n = 0\),
\(F(n) = F(n \, // \, 10) \cdot (n \, \% \,10)\), если \(n > 0\) и \(n\) нечётно;
\(F(n) = F(n \, // \, 10)\), если \(n > 0\) и \(n\) чётно.
Определите количество значений \(n\), таких что \(10^9 \leqslant n \leqslant 6 \cdot 10^9\), для которых \(F(n) = 15\).
Решение:
Все наши числа \(10\)-значные. Чтобы получилось \(15\), необходимо, чтобы в записи числа присутствовала одна \(5\), одна \(3\), а остальные цифры — это \(0\), \(1\), \(2\), \(4\), \(6\), \(8\) (всего их \(6\), назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять \(0\), а также \(6\) (число \(6~000~000~000\) не даст в ответе \(15\), а других чисел, начинающихся на \(6\) в нашей задаче нет). Также на первой позиции может быть \(5\) или \(3\), тогда на оставшихся девяти позициях должны присутствовать только \(3\) или \(5\) соответственно и допустимые числа. Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из трёх чисел \(1\), \(2\), \(4\). На оставшихся размещаются одна \(5\), одна \(3\) и шесть допустимых чисел. Т.о., получаем \( 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6^7\) вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит \(5\) или \(3\). Тогда на оставшихся девяти находится \(3\) или \(5\) соответственно и допустимые цифры. Всего \(2 \cdot 9 \cdot 6^8\) вариантов. Итого \( 3 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 6^7 + 2 \cdot 9 \cdot 6^8\) вариантов.
Ответ: \(90699264\)