Задание 16. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7250
- Просмотры: 500
- Изменено: 1 февраля 2025
*Обозначим через \(a \, \% \, b\) остаток от деления натурального числа \(a\) на натуральное число \(b\), а через \(a \, // \, b\) – целую часть от деления \(a\) на \(b\). Алгоритм вычисления значения функции \(F(n)\), где \(n\) – натуральное число, задан следующими соотношениями:
\(F(n) = 1\), если \(n = 0\),
\(F(n) = F(n \, // \, 8) \cdot (n \, \% \, 8)\), если \(n > 0\) и n нечётно;
\(F(n) = F(n \, // \, 8)\), если \(n > 0\) и \(n\) чётно.
Определите количество значений \(n\), таких что \(8^9 \leqslant n \leqslant 8^{10}\), для которых \(F(n) = 25\).
Решение:
Будем рассматривать числа в \(8\)-ричной системе счисления. Тогда \(8^9 = 1~000~000~000_8\), \(8^{10} = 10~000~000~000_8\). Т.е., все наши числа \(10\)-значные в этой системе счисления (за исключением правой границы \(8^{10}\); но это число не даст в ответе \(25\), поэтому его мы не будем рассматривать). Чтобы получилось \(25\), необходимо, чтобы в записи числа присутствовали две \(5\), а остальные цифры — это \(0\), \(1\), \(2\), \(4\), \(6\) (всего их \(5\), назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять \(0\), зато может быть \(5\). Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из четырёх чисел \(1\), \(2\), \(4\), \(6\). На оставшихся размещаются две \(5\) и допустимые числа (вакантных позиций \(7\)). Разместить две пятёрки по девяти позициям можно \(C^2_9 = 36\) способами. Т.о., получаем \( 4 \cdot 36 \cdot 5^7\) вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит \(5\). Тогда на оставшихся девяти находится одна \(5\) и допустимые цифры. Всего \(9 \cdot 5^8\) вариантов. Итого \( 4 \cdot 36 \cdot 5^7 + 9 \cdot 5^8\) вариантов.
Ответ: \(14765625\)