*Обозначим через остаток от деления натурального числа на натуральное число , а через – целую часть от деления на . Алгоритм вычисления значения функции , где – натуральное число, задан следующими соотношениями:
, если ,
, если и n нечётно;
, если и чётно.
Определите количество значений , таких что , для которых .
Решение:
Будем рассматривать числа в -ричной системе счисления. Тогда , . Т.е., все наши числа -значные в этой системе счисления (за исключением правой границы ; но это число не даст в ответе , поэтому его мы не будем рассматривать). Чтобы получилось , необходимо, чтобы в записи числа присутствовали две , а остальные цифры — это , , , , (всего их , назовём такие числа допустимыми). Учтём также, что на первой позиции не может стоять , зато может быть . Рассмотрим отдельно два случая. Первый — на первой позиции стоит одно из четырёх чисел , , , . На оставшихся размещаются две и допустимые числа (вакантных позиций ). Разместить две пятёрки по девяти позициям можно способами. Т.о., получаем вариантов. Второй случай. На первой позиции стоит . Тогда на оставшихся девяти находится одна и допустимые цифры. Всего вариантов. Итого вариантов.
Ответ: