Задание 19-21. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 19.01.2025

Просмотры: 952
Изменено: 2 февраля 2025

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из обеих куч три камня или уменьшить количество камней в одной из куч в два раза (если количество камней в куче нечётно, остаётся на \(1\) камень меньше, чем убирается). Например, пусть в одной куче \(10,\) а в другой \(15\) камней; такую позицию мы будем обозначать \((10, \, 15).\) За один ход из позиции \((10, \, 15)\) можно получить любую из трёх позиций: \((7, \, 12),\) \((5, \, 15),\) и \((10, \, 7).\) Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более \(100.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет \(100\) или меньше камней. В начальный момент в первой куче было \(48\) камней, во второй куче — \(S\) камней, \(S > 52.\)

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Укажите минимальное значение \(S,\) когда такая ситуация возможна.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите минимальное и максимальное значения \(S,\) при котором у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

  • Петя не может выиграть за один ход;
  • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите наименьшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:

  • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
  • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение:

Python


def moves(h):
    h1, h2 = h
    return (h1 - 3, h2 - 3), (h1 // 2, h2), (h1, h2 // 2)

def game_over(pos):
    return sum(pos) < 101

def win1(pos):
    return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))

def lose1(pos):
    return all(win1(m) for m in moves(pos))

def lose1_bad(pos):
    return any(win1(m) for m in moves(pos))

def win2(pos):
    return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))

def lose2(pos):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
           and any(win2(m) for m in moves(pos))

z19 = [S for S in range(52, 1000) if lose1_bad([48, S])]
z20 = [S for S in range(52, 1000) if win2([48, S])]
z21 = [S for S in range(52, 1000) if lose2([48, S])]
print(min(z19))
print(z20[0], z20[-1])
print(min(z21))

Ответ:
\(59\)
\(115 \,\, 229\)
\(124\)