Задание 19-21. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 4.10.2024

Просмотры: 556
Изменено: 1 февраля 2025

19

(Д. Бахтиев) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) три камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее \(77.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, при которой в кучах оказывается \(77\) или больше камней.

В начальный момент в первой куче было \(12\) камней, во второй куче — \(S\) камней; \(1 \leqslant S \leqslant 64.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение \(S,\) при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наименьших значения \(S,\) при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:

  • Петя не может выиграть за один ход;
  • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите значения \(S,\) при которых одновременно выполняются два условия:

  • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
  • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

В ответе укажите количество таких значений.

Решение:

Python


def moves(pos):
    h1, h2 = pos
    return (h1 + 3, h2), (h1, h2 + 3), (3 * h1, h2), (h1, 3 * h2)

def game_over(pos):
    return sum(pos) >= 77

def win1(pos):
    return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))

def lose1(pos):
    return all(win1(m) for m in moves(pos))

def win2(pos):
    return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))

def lose2(pos):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
           and any(win2(m) for m in moves(pos))

z19 = [S for S in range(1, 65) if lose1([12, S])]
z20 = [S for S in range(1, 65) if win2([12, S])]
z21 = [S for S in range(1, 65) if lose2([12, S])]
print(min(z19))
print(*z20[:2])
print(len(z21))

Ответ:
\(21\)
\(7 \,\, 18\)
\(2\)