Задание 19. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7381
- Просмотры: 199
- Изменено: 18 января 2025
19
(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может убрать из кучи два или три камня либо уменьшить количество камней в куче в два раза. В случае, если уменьшается в два раза нечётное количество камней, то сначала убирают один камень, а затем уменьшают в два раза. Например, имея кучу из \(11\) камней, за один ход можно получить кучу из \(9,\) \(8\) или \(5\) камней. Нельзя убрать больше камней, чем их имеется в куче. Игра завершается в тот момент, когда в куче не останется камней. При этом победителем считается игрок, сделавший последний ход. В начальный момент в куче было \(S\) камней, \(1 \leqslant S \leqslant 30.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите количество всех возможных значение \(S,\) при которых Петя не может выиграть своим первым ходом, но при любом ходе Пети, Ваня выигрывает своим первым ходом.
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два наибольших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
Найденные значения запишите в ответе в порядке убывания.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите наибольшее значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Решение:
Python
from math import floor
def moves(pos):
match pos:
case 1: return 0,
case 2: return 0, 1
case 3: return 0, 1
case _: return pos - 2, pos - 3, floor(pos / 2)
def game_over(heap):
return heap == 0
def win1(pos):
return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))
def lose1(pos):
return all(win1(m) for m in moves(pos))
def win2(pos):
return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))
def lose2(pos):
return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
and any(win2(m) for m in moves(pos))
z19 = [S for S in range(1, 31) if lose1(S)]
z20 = [S for S in range(1, 31) if win2(S)]
z21 = [S for S in range(1, 31) if lose2(S)]
print(len(z19))
print(z20[-1], z20[-2])
print(max(z21))
Ответ:
\(2\)
\(11 \,\, 10\)
\(13\)