Задание 19. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7382

Просмотры: 111
Изменено: 18 января 2025

19

(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. У игроков есть табличка, в которую записана пара неотрицательных целых чисел. Будем называть эту пару чисел позицией. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может заменить одно из чисел пары (по своему выбору) на сумму обоих чисел. Так, например, если перед ходом игрока была позиция \((2, \, 20),\) то после его хода будет позиция \((22, \,20)\) или \((2, \, 22).\) Игра завершается в тот момент, когда сумма чисел пары станет не менее \(62.\) Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший в сумму чисел пары \(62\) и более. В начальный момент в табличке записана пара чисел \((10, \, S),\) \(1 \leqslant S \leqslant 51.\) Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Найдите минимальное значение \(S,\) при котором Петя может выиграть за один ход.

20

Для игры, описанной в задании 19, найдите два наибольших значения \(S,\) когда Петя имеет выигрышную стратегию, причём одновременно выполняются два условия:

  • Петя не может выиграть за один ход;
  • Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.

Найденные значения запишите в ответе в порядке возрастания.

21

Для игры, описанной в задании 19, найдите количество значений \(S,\) при которых одновременно выполняются два условия:

  • у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
  • у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Решение:

Python


def moves(h):
    s = sum(h)
    h1, h2 = h
    return (s, h2), (h1, s)

def game_over(heap):
    return sum(heap) >= 62

def win1(pos):
    return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))

def lose1(pos):
    return all(win1(m) for m in moves(pos))

def win2(pos):
    return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))

def lose2(pos):
    return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
           and any(win2(m) for m in moves(pos))

z19 = [S for S in range(1, 52) if win1((10, S))]
z20 = [S for S in range(1, 52) if win2((10, S))]
z21 = [S for S in range(1, 52) if lose2((10, S))]
print(min(z19))
print(z20[-2], z20[-1])
print(len(z21))

Ответ: \(26\)
\(14 \,\, 15\)
\(4\)