Задание 19. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7383
- Просмотры: 138
- Изменено: 18 января 2025
19
(А. Минак) Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. На координатной плоскости стоит фишка. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. Ход состоит в том, что игрок перемещает фишку из точки с координатами \((x, \, y)\) в одну из трех точек: \((x-10, \, y+5),\) \((x-5, \, y-5),\) \((x+5, y-5).\) Например, при если фишка стоит в позиции \((10, \,5),\) то за один ход можно получить любую из трёх позиций: \((0, \,10),\) \((5, \, 0),\) \((15, \, 0).\) Игра завершается в тот момент, когда расстояние от фишки до точки с координатами \((0, \, 0)\) становится больше \(20\) единиц. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший позицию, от которой расстояние до точки с координатами \((0, \, 0)\) больше \(20\) единиц. В начальный момент фишка находится в позиции \((-1, \, S),\) где \(S\) — целое число. Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите количество всех возможных \(S,\) при которых игра имеет смысл, т. е. для которых расстояние от начальной позиции до точки с координатами \((0, \, 0)\) не больше \(20.\)
20
Для игры, описанной в задании 19, найдите два числа: первое – количество значения \(S,\) при которых Петя выигрывает первым ходом; и второе число – количество значений \(S\) при которых, у Пети есть выигрышная стратегия, причём одновременно выполняются два условия:
- Петя не может выиграть за один ход;
- Петя может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Ваня.
21
Для игры, описанной в задании 19, найдите максимальное значение \(S,\) при котором одновременно выполняются два условия:
- у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
- у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.
Решение:
Python
from math import dist
def moves(pos):
x, y = pos
return (x - 10, y + 5), (x - 5, y - 5), (x + 5, y - 5)
def game_over(pos):
p0 = (0, 0)
return dist(p0, pos) > 20
def win1(pos):
return not game_over(pos) and any(game_over(m) for m in moves(pos))
def lose1(pos):
return all(win1(m) for m in moves(pos))
def win2(pos):
return not win1(pos) and any(lose1(m) for m in moves(pos))
def lose2(pos):
return all(win1(m) or win2(m) for m in moves(pos)) \
and any(win2(m) for m in moves(pos))
z19 = [S for S in range(-30, 30) if not game_over((-1, S))]
z20_1 = [S for S in z19 if win1((-1, S))]
z20_2 = [S for S in z19 if win2((-1, S))]
z21 = [S for S in z19 if lose2((-1, S))]
print(len(z19))
print(len(z20_1), len(z20_2))
print(max(z21))
Ответ:
\(39\)
\(13 \,\, 2\)
\(2\)