Задание 6. Информатика. ЕГЭ. Шастин. 4.10.2024

Просмотры: 318
Изменено: 24 ноября 2024

(Д. Бахтиев) Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует \(6\) команд: Поднять хвост, означающая переход к перемещению без рисования; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования; Вперёд \(n\) (где \(n\) – целое число), вызывающая передвижение Черепахи на \(n\) единиц в том направлении, куда указывает её голова; Назад \(n\) (где \(n\) – целое число), вызывающая передвижение в противоположном голове направлении; Направо \(m\) (где \(m\) – целое число), вызывающая изменение направления движения на \(m\) градусов по часовой стрелке, Налево \(m\) (где \(m\) – целое число), вызывающая изменение направления движения на \(m\) градусов против часовой стрелки. Запись 

Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS]
означает, что последовательность из \(S\) команд повторится \(k\) раз. Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:

   Повтори 9 [Вперёд 50 Направо 90 Вперёд 35 Направо 90]
   Поднять хвост
   Вперёд 5 Направо 90 Вперёд 10 Налево 90
   Опустить хвост
   Повтори 4 [Вперёд 35 Направо 90 Вперёд 17 Направо 90]

Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри объединения фигур, ограниченных заданным алгоритмом линиями, включая точки на границах этого объединения.

Решение:

Черепаха начинает с точки \((0,0)\) и потом двигается по точкам \((0, 50)\), \((35, 50)\), \((35, 0)\) и возвращается в \((0, 0)\). Затем поднимает хвост и перемещается в точку \((25, 45)\). Оттуда перемещается по точкам \((25, 80)\), \((42, 80)\), \((42, 45)\), \((25, 45)\).

Первый прямоугольник, по которому двигалась Черепаха (на рисунке красного цвета), имеет длины сторон \(35\) и \(50\). На этих сторонах расположены соответственно \(36\) и \(51\) точки. Всего внутри этого прямоугольника расположено \(36 \cdot 51 = 1836\) точек.

Аналогично, второй (зелёный) прямоугольник имеет длины сторон \(17\) и \(35\). Поэтому, внутри него и на его границах расположено \(18 \cdot 36 = 648\) точек.

Пересечение прямоугольников движения — прямоугольник с вершинами \((25, 45)\), \((25, 50)\), \((35, 50)\), \((35, 25)\). Длины его сторон \(5\) и \(10\), значит эти стороны содержат \(6\) и \(11\) точек соответственно. Поэтому общее количество точек, заключённое внутри прямоугольника пересечения, будет \(6 \cdot 11 = 66\) точек.

По формуле Эйлера, количество точек, содержащихся внутри объединения этих прямоугольников, будет равно \(36 \cdot 51 + 18 \cdot 36 - 6 \cdot 11 = 2418\).

Ответ: \(2418\)