Задание 8. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7767

Просмотры: 245
Изменено: 8 февраля 2025

**(О. Лысенков) Известно что число \(X = {*}{*}{*}{*}A{*}{*}_{16} = {*}{*}{*}{*}2{*}{*}{*}3_8.\) На месте символа "\(*\)" может быть любая из цифр соответствующей системы счисления, причём каждая из звёздочек является значащей цифрой (число не может начинаться с цифры \(0\)). Найдите количество чисел \(X,\) удовлетворяющих этому условию.

Решение:

Запишем друг под другом восьмиричное и шестнадцатиричное представления числа \(X\) в двоичной системе исчисления

* * * * | * * *   * | * *   * * | *  * * *  | 1 0 1   0 | * *  * * | *   * * *     (16-ричная)
  * * * | * * * | *   * * | * *   * | 0 1 0 | * * * | *   * * |* *   * | 0 1 1      (8-ричная)

Видно, что десять разрядов числа \(X\) зафиксированы. Старший \(27\)-й разряд в \(16\)-ричной записи должен равняться \(0\), т.к. его нет в \(8\)-ричной записи (счёт разрядов с \(0\)). Нефиксированными остались \(17\) разрядов. По условию задачи один из трёх старших разрядов \(8\)-ричной записи должен быть ненулевым. Поэтому, если \(26\)-й разряд равен \(1\), то получаем \(2^{16}\) различных \(X\). Если \(26\)-й разряд равен нулю, но не равен нулю \(25\), имеем \(2^{15}\) различных чисел \(X\), удовлетворяющих условию задачи. Наконец, если равны нулю и \(26\)-й и \(25\)-й, то обязательно тогда не ноль \(24\)-й разряд. А значит, в этом случае получим \(2^{14}\) различных чисел \(X\). Окончательно, количество \(X\), удовлетворяющих условию задачи, равно $$2^{16} + 2^{15} + 2^{14} = 114688$$

Ответ: \(114688\)