Задание 8. Информатика. ЕГЭ. Поляков-7767
- Просмотры: 290
- Изменено: 8 февраля 2025
**(О. Лысенков) Известно что число \(X = {*}{*}{*}{*}A{*}{*}_{16} = {*}{*}{*}{*}2{*}{*}{*}3_8.\) На месте символа "\(*\)" может быть любая из цифр соответствующей системы счисления, причём каждая из звёздочек является значащей цифрой (число не может начинаться с цифры \(0\)). Найдите количество чисел \(X,\) удовлетворяющих этому условию.
Решение:
Запишем друг под другом восьмиричное и шестнадцатиричное представления числа \(X\) в двоичной системе исчисления
* * * * | * * * * | * * * * | * * * * | 1 0 1 0 | * * * * | * * * * (16-ричная) * * * | * * * | * * * | * * * | 0 1 0 | * * * | * * * |* * * | 0 1 1 (8-ричная)
Видно, что десять разрядов числа \(X\) зафиксированы. Старший \(27\)-й разряд в \(16\)-ричной записи должен равняться \(0\), т.к. его нет в \(8\)-ричной записи (счёт разрядов с \(0\)). Нефиксированными остались \(17\) разрядов. По условию задачи один из трёх старших разрядов \(8\)-ричной записи должен быть ненулевым. Поэтому, если \(26\)-й разряд равен \(1\), то получаем \(2^{16}\) различных \(X\). Если \(26\)-й разряд равен нулю, но не равен нулю \(25\), имеем \(2^{15}\) различных чисел \(X\), удовлетворяющих условию задачи. Наконец, если равны нулю и \(26\)-й и \(25\)-й, то обязательно тогда не ноль \(24\)-й разряд. А значит, в этом случае получим \(2^{14}\) различных чисел \(X\). Окончательно, количество \(X\), удовлетворяющих условию задачи, равно $$2^{16} + 2^{15} + 2^{14} = 114688$$
Ответ: \(114688\)